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Problema \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n Pela an\u00e1lise dos quatro casos, conclu\u00edmos que os \u00fanicos valores de [tex]m[\/tex] e [tex]n[\/tex] que tornam a express\u00e3o um n\u00famero primo s\u00e3o [tex]m=1[\/tex] e [tex]n=1[\/tex]. Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) Encontre todos os valores naturais para [tex]m[\/tex] e [tex]n[\/tex] de modo que [tex]\\boxed{m^4+4n^4}[\/tex] seja primo. Solu\u00e7\u00e3o Vamos considerar quatro casos separadamente: [tex]m=n=0[\/tex] Com esta escolha de valores para [tex]m[\/tex] e [tex]n[\/tex], o valor da express\u00e3o [tex]m^4+4n^4 \\, [\/tex] \u00e9 [tex] \\, 0[\/tex], que n\u00e3o \u00e9 … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n
\nEncontre todos os valores naturais para [tex]m[\/tex] e [tex]n[\/tex] de modo que [tex]\\boxed{m^4+4n^4}[\/tex] seja primo. <\/p>\n
\nVamos considerar quatro casos separadamente:<\/p>\n\n
\nCom esta escolha de valores para [tex]m[\/tex] e [tex]n[\/tex], o valor da express\u00e3o [tex]m^4+4n^4 \\, [\/tex] \u00e9 [tex] \\, 0[\/tex], que n\u00e3o \u00e9 um n\u00famero primo. <\/li>\n
\n Quando [tex]m=0[\/tex], temos [tex]m^4+4n^4=4n^4 \\, [\/tex] e [tex] \\, 4n^4[\/tex] \u00e9 sempre divis\u00edvel por [tex]4[\/tex] para qualquer valor natural positivo de [tex]n[\/tex].
\nPortanto, substituindo na express\u00e3o [tex]m^4+4n^4[\/tex] escolhas para [tex]m[\/tex] e [tex]n[\/tex] verificando [tex]m=0[\/tex] e [tex]n\\gt 0[\/tex], sempre obtemos n\u00fameros compostos.<\/li>\n
\n Quando [tex]n=0[\/tex], a express\u00e3o [tex]m^4+4n^4[\/tex] se torna [tex]m^4[\/tex]. Perceba que o n\u00famero [tex]m^4[\/tex] \u00e9 sempre divis\u00edvel por [tex]m[\/tex], para qualquer valor natural positivo de [tex]m[\/tex].
\nPortanto, substituindo na express\u00e3o [tex]m^4+4n^4[\/tex] escolhas para [tex]m[\/tex] e [tex]n[\/tex] que verifiquem [tex]m\\gt 0[\/tex] e [tex]n= 0[\/tex], novamente obtemos apenas n\u00fameros que n\u00e3o s\u00e3o primos.<\/li>\n
\nPrimeiramente vamos fatorar a express\u00e3o alg\u00e9brica [tex]m^4+4n^4[\/tex].
\nCom a ajuda dos produtos not\u00e1veis “trin\u00f4mio quadrado perfeito” e “diferen\u00e7a de quadrados” podemos escrever:
\n[tex]\\qquad m^4+4n^4=m^4+4n^4+4m^2n^2-4m^2n^2=(m^2+2n^2)^2-4m^2n^2\\\\
\n\\qquad \\qquad \\quad \\quad =(m^2+2n^2-2mn)(m^2+2n^2+2mn).[\/tex]
\nObserve que o fator [tex]m^2+2n^2+2mn \\, [\/tex] \u00e9 sempre um n\u00famero natural maior do que [tex]1[\/tex], para quaisquer naturais n\u00e3o nulos [tex]m[\/tex] e [tex]n[\/tex].
\nRecorrendo novamente ao produto not\u00e1vel “trin\u00f4mio quadrado perfeito”, podemos verificar que o fator [tex]m^2+2n^2-2mn[\/tex] pode ser escrito na forma [tex](m-n)^2+n^2[\/tex] e, com exce\u00e7\u00e3o dos valores [tex]m=n=1[\/tex], tamb\u00e9m \u00e9 sempre um n\u00famero natural maior do que [tex]1[\/tex] para quaisquer naturais n\u00e3o nulos [tex]m[\/tex] e [tex]n[\/tex].
\nDesta forma, para todas as escolhas de [tex]m[\/tex] e [tex]n[\/tex] diferentes de [tex]1[\/tex] a express\u00e3o [tex]m^4+4n^4[\/tex] tem como valor um n\u00famero composto.<\/li>\n<\/ul>\n
\nEm particular, com a escolha [tex]m=1[\/tex] e [tex]n=1[\/tex] obtemos o n\u00famero primo [tex]5[\/tex].<\/strong>\n<\/p>\n
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