{"id":101162,"date":"2018-04-23T10:28:53","date_gmt":"2018-04-23T13:28:53","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=101162"},"modified":"2023-04-16T02:49:38","modified_gmt":"2023-04-16T05:49:38","slug":"probleminha-moedas-de-ouro","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/probleminha-moedas-de-ouro\/","title":{"rendered":".Probleminha: Moedas de ouro"},"content":{"rendered":"<p style=\"margin:10px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:27px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#800000\"> (Indicado a partir do 7\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>Um pirata encontrou um tesouro com [tex]23[\/tex] moedas de ouro aparentemente id\u00eanticas. Sabe-se que  [tex]22[\/tex] destas moedas possuem o mesmo peso e apenas uma delas \u00e9 mais leve que as outras.<br \/>\nMostre que o pirata sempre pode descobrir a moeda falsa em apenas, no m\u00e1ximo, tr\u00eas pesagens com uma balan\u00e7a de equil\u00edbrio de dois pratos.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/04\/balan\u00e7a.png\" alt=\"\" width=\"293\" height=\"159\" class=\"aligncenter size-full wp-image-101167\" \/><\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:30px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:30px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>[tex]\\textcolor{#800000}{(1)}[\/tex] Vamos, inicialmente, dividir o conjunto [tex]M[\/tex] das moedas em tr\u00eas subconjuntos [tex]M_1, M_2[\/tex] e [tex]M_3[\/tex] contendo [tex]9[\/tex] moedas, [tex]9[\/tex] moedas e [tex]5[\/tex] moedas, respectivamente.<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>[tex]\\textcolor{#800000}{(2)}[\/tex] Com <span style=\"color: #FF0000\"><strong>uma pesagem<\/strong><\/span>, colocando em um dos pratos da balan\u00e7a as moedas de [tex]M_1[\/tex] e no outro as de [tex]M_2[\/tex], podemos descobrir se a moeda falsa se encontra em [tex]M_1[\/tex], [tex]M_2[\/tex] ou em [tex]M_3[\/tex]:<\/p>\n<ul>\n<ul>&#8211; Se o prato no qual est\u00e3o as moedas [tex]M_1[\/tex] abaixar, a moeda falsa est\u00e1 em [tex]M_2.[\/tex]<br \/>\n\t&#8211; Se o prato no qual est\u00e3o as moedas [tex]M_2[\/tex] abaixar, a moeda falsa est\u00e1 em [tex]M_1.[\/tex]<br \/>\n\t&#8211; Se os pratos ficarem em equil\u00edbrio, a moeda falsa est\u00e1 em [tex]M_3.[\/tex]<\/ul>\n<\/ul>\n<p>[tex]\\textcolor{#800000}{(3.1)}[\/tex] Se a moeda falsa estiver em [tex]M_1[\/tex] ent\u00e3o podemos separar este conjunto de [tex]9[\/tex] moedas em tr\u00eas subconjuntos [tex]M_{11}, M_{12}[\/tex] e [tex]M_{13}[\/tex] contendo tr\u00eas moedas cada um. <\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<ul>\n<ul>\n<li>Com <span style=\"color: #FF0000\"><strong>uma segunda pesagem<\/strong><\/span>, colocando num dos pratos da balan\u00e7a as moedas de [tex]M_{11}[\/tex] e no outro as de [tex]M_{12}[\/tex], descobrimos em qual dos conjuntos [tex]M_{11}, M_{12}[\/tex] e [tex]M_{13}[\/tex], com [tex]3[\/tex] moedas cada um, se encontra a falsa. <\/li>\n<p style=\"margin:20px\">\n<ul>\n<ul>&#8211; Se o prato no qual est\u00e3o as moedas [tex]M_{11}[\/tex] abaixar, ent\u00e3o a moeda falsa est\u00e1 em [tex]M_{12}.[\/tex]<br \/>\n\t&#8211; Se o prato no qual est\u00e3o as moedas [tex]M_{12}[\/tex] abaixar, a moeda falsa est\u00e1 em [tex]M_{11}.[\/tex]<br \/>\n\t&#8211; Se os pratos ficarem em equil\u00edbrio, a moeda falsa est\u00e1 em [tex]M_{13}.[\/tex]<\/ul>\n<\/ul>\n<li>Digamos que a moeda falsa se encontra em [tex]M_{1x}[\/tex] ([tex]x=1, \\, 2 \\text{ ou } 3[\/tex]). Finalmente, com <span style=\"color: #FF0000\"><strong>mais uma pesagem<\/strong><\/span>, colocando em cada prato da balan\u00e7a uma das moedas de [tex]M_{1x}[\/tex], determinamos a moeda falsa.<\/li>\n<p style=\"margin:20px\">\n<ul>\n<ul>&#8211; Se um dos pratos abaixar, a moeda falsa \u00e9 a que est\u00e1 no prato que n\u00e3o abaixou.<br \/>\n\t&#8211; Se os pratos ficarem em equil\u00edbrio, a moeda falsa \u00e9 a aquela que n\u00e3o foi colocada nos pratos da balan\u00e7a.<\/ul>\n<\/ul>\n<\/ul>\n<\/ul>\n<p>[tex]\\textcolor{#800000}{(3.2)}[\/tex]  Se a moeda falsa estiver em [tex]M_2[\/tex], podemos proceder exatamente como no caso anterior.<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>[tex]\\textcolor{#800000}{(3.3)}[\/tex]  Se a moeda falsa estiver em [tex]M_3[\/tex], podemos usar [tex]4[\/tex] moedas dos outros conjuntos e proceder exatamente como no [tex]\\textcolor{#800000}{\\text{caso } 3.1}[\/tex].<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema (Indicado a partir do 7\u00ba ano do E. F.) Um pirata encontrou um tesouro com [tex]23[\/tex] moedas de ouro aparentemente id\u00eanticas. Sabe-se que [tex]22[\/tex] destas moedas possuem o mesmo peso e apenas uma delas \u00e9 mais leve que as outras. Mostre que o pirata sempre pode descobrir a moeda falsa em apenas, no m\u00e1ximo, &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/probleminha-moedas-de-ouro\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":667,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-101162","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/101162","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/667"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=101162"}],"version-history":[{"count":40,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/101162\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":187347,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/101162\/revisions\/187347"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=101162"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}