{"id":100877,"date":"2018-04-23T11:15:03","date_gmt":"2018-04-23T14:15:03","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=100877"},"modified":"2023-04-16T02:49:01","modified_gmt":"2023-04-16T05:49:01","slug":"probleminha-numeros-inteiros-de-1-ate-22","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/probleminha-numeros-inteiros-de-1-ate-22\/","title":{"rendered":".Probleminha: N\u00fameros inteiros de 1 at\u00e9 22"},"content":{"rendered":"

\n

\n

Problema
\n (Indicado a partir do 6\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n

\n

Os inteiros de [tex]1[\/tex] at\u00e9 [tex]22[\/tex] s\u00e3o escritos em uma fila:
\n[tex]\\qquad \\qquad \\quad \\quad 1 \\, \\, 2 \\, \\, 3 \\, \\, 4 \\, \\, 5 \\, \\, 6 \\, \\, 7 \\, \\, 8 \\, \\, 9 \\, \\, 10 \\, \\, 11 \\, \\, 12 \\, \\, 13 \\, \\, 14 \\, \\, 15 \\, \\, 16 \\, \\, 17 \\, \\, 18 \\, \\, 19 \\, \\, 20 \\, \\, 21 \\, \\, 22 \\, .[\/tex]
\nObserve que podemos inserir sinais de [tex]+[\/tex] ou [tex]-[\/tex] antes de cada um dos n\u00fameros de forma a obter diversos resultados. Por exemplo:
\n[tex]\\qquad 1-2+3-4-5-6-7-8-9+10+11+\\\\
\n\\qquad \\quad +12+13+14+15-16+17-18+19-20+21-22=19 \\, .[\/tex] <\/p>\n

\n

(a)<\/strong> Qual o valor da express\u00e3o quando colocarmos todos os sinais [tex]+[\/tex] ?
\n(b)<\/strong> \u00c9 poss\u00edvel inserir sinais de [tex]+[\/tex] ou [tex]-[\/tex] e obter o resultado [tex]173[\/tex] ?
\n(c)<\/strong> \u00c9 poss\u00edvel inserir sinais de [tex]+[\/tex] ou [tex]-[\/tex] e obter o resultado [tex]0[\/tex] ?<\/p>\n

\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n

\n

(a)<\/strong> Para facilitar o c\u00e1lculo, pode-se reorganizar os n\u00fameros como a seguir e depois efetuar a conta:
\n[tex]\\qquad (1+22)+(2+21)+(3+20)+(4+19)+(5+18)+(6+17)+\\\\
\n\\quad \\quad +(7+16)+(8+15)+(9+14)+(10+13)+(11+12)= 11\\times 23=253[\/tex]<\/p>\n

(b)<\/strong> Observe que a soma total vale [tex]253[\/tex] e queremos obter o resultado [tex]173,[\/tex] ou seja, [tex]80[\/tex] a menos que a soma total. Para tal, basta invertemos na soma total o sinal de parcelas cuja soma seja [tex]\\dfrac{80}{2}=40.[\/tex]
\nUma poss\u00edvel solu\u00e7\u00e3o seria inverter os sinais dos n\u00fameros [tex]19[\/tex] e [tex]21[\/tex]:
\n[tex]\\qquad 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+\\\\
\n\\qquad \\quad +12+13+14+15+16+17+18-19+20-21+22=173.[\/tex]<\/p>\n

(c)<\/strong> Quando na soma total invertemos o sinal de um dos n\u00fameros, o resultado difere de [tex]253[\/tex] por um valor par. Logo, a paridade <\/strong> do resultado de cada nova soma n\u00e3o muda. Como a soma que estamos trabalhando \u00e9 \u00edmpar, ao substituirmos um sinal [tex]+[\/tex] por [tex]-[\/tex] sempre obteremos um n\u00famero \u00edmpar.
\nDessa forma, nunca obteremos o zero.<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

\n

\nParticiparam da discuss\u00e3o os Clubes: Expertise ao Quadrado<\/strong> ; MathA<\/strong>.<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Problema (Indicado a partir do 6\u00ba ano do E. F.) Os inteiros de [tex]1[\/tex] at\u00e9 [tex]22[\/tex] s\u00e3o escritos em uma fila: [tex]\\qquad \\qquad \\quad \\quad 1 \\, \\, 2 \\, \\, 3 \\, \\, 4 \\, \\, 5 \\, \\, 6 \\, \\, 7 \\, \\, 8 \\, \\, 9 \\, \\, 10 \\, \\, … <\/p>\n

Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":620,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-100877","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/100877","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/620"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=100877"}],"version-history":[{"count":14,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/100877\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":187346,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/100877\/revisions\/187346"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=100877"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}