{"id":100445,"date":"2018-03-21T16:42:59","date_gmt":"2018-03-21T19:42:59","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=100445"},"modified":"2023-04-15T20:45:36","modified_gmt":"2023-04-15T23:45:36","slug":"problema-triangulo-retangulo","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-triangulo-retangulo\/","title":{"rendered":".Problema: Tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo"},"content":{"rendered":"

\n

\n

Problema
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n

\nNum tri\u00e2ngulo [tex]OAB[\/tex], ret\u00e2ngulo em [tex]O[\/tex], tem-se [tex]OA = a[\/tex] e [tex]OB = b[\/tex].
\n\u00c9 dado que existem os pontos [tex]P[\/tex] em [tex]\\overline{OA}[\/tex] e [tex]Q[\/tex] em [tex]\\overline{OB}[\/tex] tais que [tex]AP = PQ = QB = x[\/tex].
\nNessas condi\u00e7\u00f5es, calcule o valor de [tex]x[\/tex] em fun\u00e7\u00e3o de [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex].
\n Nota\u00e7\u00e3o:<\/span> Denotaremos o segmento definido por dois pontos, digamos [tex]X \\, [\/tex] e [tex] \\, Y[\/tex], por [tex]\\overline {XY} [\/tex] e o seu comprimento por [tex]XY[\/tex].<\/p>\n

\n<\/div>\n

\n

\n\"explicador_p\" <\/p>\n

Ajuda<\/p>\n

Nesta solu\u00e7\u00e3o, vamos utilizar o Teorema de Pit\u00e1goras.
\nCaso precisem de ajuda com este tema, n\u00e3o deixem de dar uma olhada na Sala para Leitura Reencontrando tri\u00e2ngulos ret\u00e2ngulos<\/a>.<\/p>\n

Bom proveito, pessoal!<\/p>\n<\/div>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n

\nObserve a figura de refer\u00eancia abaixo.
\n\"\"<\/p>\n

\n

Note que o tri\u00e2ngulo [tex]OPQ[\/tex] tamb\u00e9m ser\u00e1 ret\u00e2ngulo em [tex]O[\/tex]. Assim, seus lados obedecem \u00e0 Rela\u00e7\u00e3o de Pit\u00e1goras, isto \u00e9, temos
\n[tex]OP^2+OQ^2=PQ^2 \\, [\/tex], donde:
\n[tex]\\qquad (a-x)^2+(b-x)^2=x^2[\/tex]
\n[tex]\\qquad a^2-2ax\\cancel{+x^2}+b^2-2bx+x^2=\\cancel{x^2}[\/tex]
\n[tex]\\qquad a^2-2ax+b^2-2bx+x^2=0[\/tex]
\n[tex]\\qquad x^2-(2a+2b)x+(a^2+b^2)=0.\\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]
\nVeja que a igualdade [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] \u00e9 uma equa\u00e7\u00e3o do segundo grau em [tex]x[\/tex]. Para descobrirmos [tex]x[\/tex], podemos utilizar a f\u00f3rmula de resolu\u00e7\u00e3o desse tipo de equa\u00e7\u00e3o:<\/p>\n

\n[tex]\\qquad x=\\dfrac{(2a+2b)\\pm\\sqrt{\\left(-(2a+2b)\\right)^2-4\\cdot 1\\cdot (a^2+b^2)}}{2\\cdot1}[\/tex]
\n[tex]\\qquad x=\\dfrac{2(a+b)\\pm\\sqrt{\\cancel{4a^2}+8ab+\\bcancel{4b^2}\\cancel{-4a^2}\\bcancel{-4b^2}}}{2}[\/tex]
\n[tex]\\qquad x=\\dfrac{2(a+b)\\pm\\sqrt{8ab}}{2}[\/tex]
\n[tex]\\qquad x=\\dfrac{\\cancel{2}(a+b)\\pm\\cancel{2}\\sqrt{2ab}}{\\cancel{2}}[\/tex]
\n[tex]\\qquad x=a+b\\pm\\sqrt{2ab}.[\/tex]<\/p>\n

Assim, a equa\u00e7\u00e3o [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] tem duas solu\u00e7\u00f5es: [tex]x_1=a+b+\\sqrt{2ab}\\quad[\/tex] e [tex]\\quad x_2=a+b-\\sqrt{2ab}.[\/tex]
\nMas perceba que [tex]x\\lt a[\/tex], pois o ponto [tex]P[\/tex] est\u00e1 entre os pontos [tex]O[\/tex] e [tex]A[\/tex]. Ent\u00e3o, obviamente, [tex]x\\lt a+b[\/tex], e portanto devemos diminuir [tex]\\sqrt{2ab}[\/tex] de [tex]a+b[\/tex] para encontrar [tex]x[\/tex], n\u00e3o somar.
\nPortanto [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x=a+b-\\sqrt{2ab}$} \\, .[\/tex]<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) Num tri\u00e2ngulo [tex]OAB[\/tex], ret\u00e2ngulo em [tex]O[\/tex], tem-se [tex]OA = a[\/tex] e [tex]OB = b[\/tex]. \u00c9 dado que existem os pontos [tex]P[\/tex] em [tex]\\overline{OA}[\/tex] e [tex]Q[\/tex] em [tex]\\overline{OB}[\/tex] tais que [tex]AP = PQ = QB = x[\/tex]. Nessas condi\u00e7\u00f5es, calcule o valor de [tex]x[\/tex] em fun\u00e7\u00e3o … <\/p>\n

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