\n
Usando diagramas de Venn para resolver
\nalguns problemas de racioc\u00ednio l\u00f3gico<\/p>\n
\n
\n
Nesta Sala, vamos apresentar alguns problemas envolvendo racioc\u00ednio l\u00f3gico e para os quais podemos utilizar diagramas de Venn para organizar os dados e visualizar melhor um caminho para resolv\u00ea-los. Para alguns problemas apresentaremos suas respectivas solu\u00e7\u00f5es e para outros forneceremos apenas suas respostas.
\nAntes de iniciarmos, uma observa\u00e7\u00e3o importante que pode ajudar na utiliza\u00e7\u00e3o de diagramas de Venn:<\/p>\n
- (1)<\/strong> Quando trabalhamos simultaneamente com dois conjuntos [tex]A,B[\/tex] de um universo [tex]U,[\/tex] para cada elemento de [tex]U[\/tex] temos uma, e apenas uma, das seguintes situa\u00e7\u00f5es:<\/p>\n
- o elemento em quest\u00e3o n\u00e3o pertence ao conjunto [tex]A[\/tex] e nem ao conjunto [tex]B;[\/tex]<\/li>\n
- o elemento em quest\u00e3o pertence apenas ao conjunto [tex]A;[\/tex]<\/li>\n
- o elemento em quest\u00e3o pertence apenas ao conjunto [tex]B;[\/tex]<\/li>\n
- o elemento em quest\u00e3o pertence ao conjunto [tex]A[\/tex] e ao conjunto [tex]B[\/tex], simultaneamente.<\/li>\n<\/ul>\n
\n
(2)<\/strong> Quando trabalhamos simultaneamente com tr\u00eas conjuntos [tex]A,B,C[\/tex] de um universo [tex]U[\/tex], para cada elemento de [tex]U[\/tex] temos uma, e apenas uma, das seguintes situa\u00e7\u00f5es:<\/p>\n
- \n
- o elemento em quest\u00e3o n\u00e3o pertence ao conjunto [tex]A[\/tex], nem ao conjunto [tex]B[\/tex] e nem ao conjunto [tex]C[\/tex];<\/li>\n
- o elemento em quest\u00e3o pertence apenas ao conjunto [tex]A;[\/tex]<\/li>\n
- o elemento em quest\u00e3o pertence apenas ao conjunto [tex]B;[\/tex]<\/li>\n
- o elemento em quest\u00e3o pertence apenas ao conjunto [tex]C;[\/tex]<\/li>\n
- o elemento em quest\u00e3o pertence ao conjunto [tex]A[\/tex] e ao conjunto [tex]B[\/tex], mas n\u00e3o pertence ao conjunto [tex]C;[\/tex]<\/li>\n
- o elemento em quest\u00e3o pertence ao conjunto [tex]A[\/tex] e ao conjunto [tex]C[\/tex], mas n\u00e3o pertence ao conjunto [tex]B;[\/tex]<\/li>\n
- o elemento em quest\u00e3o pertence ao conjunto [tex]B[\/tex] e ao conjunto [tex]C[\/tex], mas n\u00e3o pertence ao conjunto [tex]A;[\/tex]<\/li>\n
- o elemento em quest\u00e3o pertence ao conjunto [tex]A[\/tex] e ao conjunto [tex]B[\/tex] e ao conjunto [tex]C[\/tex], simultaneamente.<\/li>\n<\/ul>\n
Vamos ilustrar as oito situa\u00e7\u00f5es desse segundo caso na figura abaixo.<\/p>\n
![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/03\/fig027_2-1.png\")
<\/p>\nConsiderando opera\u00e7\u00f5es entre conjuntos, ficamos com o esquema a seguir.<\/p>\n
![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/03\/fig027_3.png\")
<\/p>\n\n
![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/03\/venn2.png\")
\n(3)<\/strong> Essa observa\u00e7\u00e3o pode ser estendida a quatro ou mais conjuntos de um conjunto universo; no entanto fica visualmente complicado trabalhar com mais de tr\u00eas conjuntos, al\u00e9m do universo.
\nPor exemplo, n\u00e3o conseguimos construir um diagrama de Venn utilizando apenas c\u00edrculos quando lidamos com quatro conjuntos. Observe na figura ao lado que, por exemplo, existe uma regi\u00e3o para representar a interse\u00e7\u00e3o apenas dos conjuntos [tex]B[\/tex] e [tex]A[\/tex], existe uma regi\u00e3o para representar a interse\u00e7\u00e3o apenas dos conjuntos [tex]B[\/tex] e [tex]C[\/tex], mas n\u00e3o existe uma regi\u00e3o em que apenas os conjuntos [tex]B[\/tex] e [tex]D[\/tex] se intersectem.
\nO que voc\u00ea acha de utilizar os diagramas abaixo para representar os conjuntos [tex]A[\/tex], [tex]B[\/tex], [tex]C[\/tex] e [tex]D[\/tex]? Conseguimos representar todas as poss\u00edveis maneiras que um elemento pode fazer parte desses conjuntos?<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/03\/venn3.png\")
<\/p>\n\n
Para aprofundar essa discuss\u00e3o, visite esta p\u00e1gina<\/strong><\/a>. <\/ul>\n
\n
\n
\n
\n\n
Problemas<\/p>\n
\n
Problema 1: <\/strong> Uma avalia\u00e7\u00e3o contendo duas quest\u00f5es foi aplicada a 200 alunos.
\nSabe-se que: <\/p>\n- \n
- [tex]50[\/tex] alunos acertaram as duas quest\u00f5es;<\/li>\n
- [tex]100[\/tex] alunos acertaram a primeira quest\u00e3o;<\/li>\n
- [tex]90[\/tex] alunos acertaram a segunda quest\u00e3o.<\/li>\n<\/ul>\n
Quantos alunos erraram as duas quest\u00f5es?<\/strong><\/p>\n
\n <\/p>\n\nVamos montar um diagrama de Venn com os dados do problema.<\/p>\n- \n
- alunos que acertaram as duas quest\u00f5es: [tex]50[\/tex];<\/li>\n
- [tex]100[\/tex] alunos acertaram a primeira quest\u00e3o, mas destes [tex]50[\/tex] acertaram as duas; assim, [tex]100-50=50[\/tex] acertaram apenas a primeira<\/span>;<\/li>\n
- [tex]90[\/tex] alunos acertaram a segunda quest\u00e3o, mas destes [tex]50[\/tex] acertaram as duas; assim, [tex]90-50=40[\/tex] acertaram apenas a segunda;<\/span><\/li>\n<\/ul>\n
Observamos, ent\u00e3o, que [tex]50+50+40=140[\/tex] alunos acertaram pelo menos uma das duas quest\u00f5es da avalia\u00e7\u00e3o. Como [tex]200[\/tex] alunos fizeram a avalia\u00e7\u00e3o, ent\u00e3o [tex]200-140=60[\/tex] alunos erraram as duas quest\u00f5es<\/span>.<\/p>\n
![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/03\/fig025.png\")
\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n\n
Problema 2: <\/strong> (CRM ES 2016 \u2013 Quadrix) Numa pesquisa, verificou-se que, das pessoas consultadas, [tex]100[\/tex] se informavam pelo site A<\/strong>; [tex]150[\/tex] por meio do site B<\/strong>; [tex]20[\/tex] buscavam se informar por meio dos dois sites, A<\/strong> e B<\/strong>; e [tex]110[\/tex] n\u00e3o se informavam por nenhum desses dois sites.
\nDesse modo, \u00e9 correto afirmar que o n\u00famero de pessoas consultadas nessa pesquisa foi de:
\n[tex]\\qquad (A)\\, 380. \\qquad (B)\\, 360. \\qquad (C)\\, 340. \\qquad (D)\\, 270. \\qquad (E)\\, 230.[\/tex]<\/p>\n\n <\/p>\n\nVamos utilizar mais uma vez um Diagrama de Venn.<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/03\/fig026.png\")
<\/p>\nObserve na figura que:<\/p>\n
- \n
- [tex]20[\/tex] corresponde \u00e0 quantidade de pessoas que se informavam pelos dois sites;<\/li>\n
- A regi\u00e3o alaranjada corresponde \u00e0 quantidade de pessoas que se informavam apenas pelo site A<\/strong>: [tex]100-20=80[\/tex];<\/li>\n
- A regi\u00e3o azul corresponde \u00e0 quantidade de pessoas que se informavam apenas pelo site B<\/strong>: [tex]150-20=130[\/tex].<\/li>\n
- A regi\u00e3o branca corresponde \u00e0 quantidade de pessoas que n\u00e3o se informavam por nenhum dos dois sites: [tex]110[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n
Dessa forma, foram consultadas na pesquisa um total de [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$80 + 20 + 130 + 110 = 340$}[\/tex] pessoas e, portanto, a alternativa correta \u00e9 a [tex]C.[\/tex]\n<\/p><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
\n
Problema 3: <\/strong> Em uma escola foi realizada uma pesquisa sobre o gosto musical dos alunos.
\nAp\u00f3s as entrevistas, os resultados foram os seguintes: <\/p>\n- \n
- [tex]416[\/tex] alunos disseram que gostam de Rock.<\/li>\n
- [tex]320[\/tex] alunos optaram por Pop.<\/li>\n
- [tex]116[\/tex] alunos afirmaram que gostam de MPB.<\/li>\n
- [tex]93[\/tex] alunos gostam de Rock e Pop.<\/li>\n
- [tex]52[\/tex] alunos gostam de Pop e MPB.<\/li>\n
- Nenhum entrevistado gosta de “Rock e MPB”.\n
- Nenhum entrevistado gosta dos tr\u00eas g\u00eaneros.<\/li>\n<\/ul>\n
Quantos foram os alunos entrevistados?<\/strong><\/p>\n
\n <\/p>\n\nParece que j\u00e1 temos todos os dados que precisamos para montar um bom diagrama de Venn e responder a pergunta formulada no problema.
\nIniciamos o preenchimento com os dados mais restritivos:<\/p>\n- \n
- como nenhum entrevistado gosta de "Rock e MPB" ou "exatamente dos tr\u00eas g\u00eaneros", vamos deixar em branco a parte do diagrama relativa a essas duas op\u00e7\u00f5es;<\/li>\n
- alunos que gostam de Rock e Pop: [tex]93[\/tex];<\/li>\n
- alunos que gostam de Pop e MPB: [tex]52[\/tex];<\/li>\n
- os alunos que gostam de Pop somam [tex]320[\/tex], mas destes [tex]52[\/tex] tamb\u00e9m gostam de MPB e [tex]93[\/tex] tamb\u00e9m gostam de Rock; assim, [tex]320-52-93=175[\/tex] gostam apenas de Pop<\/span>;<\/li>\n
- os alunos que gostam de MPB somam [tex]116[\/tex], mas destes j\u00e1 sabemos que [tex]52[\/tex] tamb\u00e9m gostam de Pop; assim, [tex]116-52=64[\/tex] gostam apenas de MPB<\/span>;<\/li>\n
- os alunos que gostam de Rock somam [tex]416[\/tex] e destes tamb\u00e9m sabemos que [tex]93[\/tex] tamb\u00e9m gostam de Pop; assim, [tex]416-93=323[\/tex] gostam apenas de Rock<\/span>.<\/li>\n<\/ul>\n
![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/Fig008.png\")
<\/p>\nComo os dados n\u00e3o registram pessoas que n\u00e3o gostem de algum dos tr\u00eas g\u00eaneros, o diagrama est\u00e1 pronto e conclu\u00edmos que foram entrevistados [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$175+93+323+52+64=707$}[\/tex] alunos.\n<\/p><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
\n
Problema 4: <\/strong> (PUC\/Campinas-SP)
\nNuma comunidade constitu\u00edda de [tex]1800[\/tex] pessoas, h\u00e1 tr\u00eas programas de TV favoritos: esportes (E), novelas (N) e humorismo (H).
\nA tabela a seguir indica quantas pessoas assistem a esses programas:<\/p>\n\n
\n Programas<\/strong><\/td>\n N\u00famero de Telespectadores<\/strong><\/td>\n<\/tr>\n \n E<\/td>\n [tex]400[\/tex]<\/td>\n<\/tr>\n \n N<\/td>\n [tex]1220[\/tex]<\/td>\n<\/tr>\n \n H<\/td>\n [tex]1080[\/tex]<\/td>\n<\/tr>\n \n E e N<\/td>\n [tex]220[\/tex]<\/td>\n<\/tr>\n \n N e H<\/td>\n [tex]800[\/tex]<\/td>\n<\/tr>\n \n E e H<\/td>\n [tex]180[\/tex]<\/td>\n<\/tr>\n \n E e N e H<\/td>\n [tex]100[\/tex]<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n Por meio desses dados, verifica-se que o n\u00famero de pessoas da comunidade que n\u00e3o assistem a qualquer dos tr\u00eas tipos de programas \u00e9:
\n[tex]\\qquad (A)\\, 200. \\qquad (B)\\, \\text{os dados do problema est\u00e3o incorretos}. \\\\
\n\\qquad (C)\\, 900. \\qquad (D)\\, 100. \\qquad (E)\\, \\text{n.d.a.}.[\/tex]<\/p>\n\n
\n <\/p>\n\n(1) O dado mais restritivo \u00e9 o n\u00famero de pessoas que assistem aos tr\u00eas programas; assim, \u00e9 por a\u00ed que iniciaremos o preenchimento de um diagrama de Venn:<\/p>\n- \n
- [tex]100[\/tex] pessoas est\u00e3o na parte comum aos conjuntos E, N e H<\/span>.<\/li>\n<\/ul>\n
(2) Em seguida, o dado mais restritivo \u00e9 sobre o n\u00famero de pessoas que assistem a dois tipos de programas. S\u00e3o esses os dados que preencheremos agora.<\/p>\n
- \n
- Assistem a esportes e novelas [tex]220[\/tex] pessoas, mas destas [tex]100[\/tex] j\u00e1 foram indicadas em (1); logo, assistem a apenas esportes e novelas [tex]\\boxed{220-100=120}[\/tex] pessoas<\/span>.<\/li>\n
- Assistem a esportes e humorismo [tex]180[\/tex] pessoas, mas destas [tex]100[\/tex] tamb\u00e9m j\u00e1 foram indicados em (1); logo, assistem a apenas esportes e humorismo [tex]\\boxed{180-100=80}[\/tex] pessoas<\/span>.<\/li>\n
- Assistem a novelas e humorismo [tex]800[\/tex] pessoas, mas destas [tex]100[\/tex] tamb\u00e9m j\u00e1 foram indicados em (1); logo, assistem a apenas novelas e humorismo [tex]\\boxed{800-100=700}[\/tex] pessoas<\/span>.<\/li>\n<\/ul>\n
(3) Agora vamos nos preocupar com os dados relativos aos telespectadores que assistem a apenas um dos tr\u00eas tipos de programa da pesquisa.<\/p>\n
- \n
- Segundo os dados, [tex]400[\/tex] pessoas assistem a esportes: dessas [tex]100[\/tex] assistem aos tr\u00eas tipos de programas, [tex]120[\/tex] assistem a apenas "esportes e novelas" e [tex]80[\/tex] apenas a "esportes e humorismo". Portanto, assistem somente a programas de esporte [tex]\\boxed{400-100-120-80=100}[\/tex] pessoas<\/span>.<\/li>\n
- Os dados indicam que [tex]1220[\/tex] pessoas assistem a novelas e dessas [tex]100[\/tex] assistem aos tr\u00eas tipos de programas, [tex]120[\/tex] assistem a apenas "esportes e novelas" e [tex]700[\/tex] a apenas "novelas e humorismo"; portanto, assistem somente a novelas [tex]\\boxed{1220-100-120-700=300}[\/tex] pessoas<\/span>.<\/li>\n
- Finalmente, temos que [tex]1080[\/tex] pessoas assistem a programa de humor. Dessas [tex]100[\/tex] assistem aos tr\u00eas tipos de programas, [tex]80[\/tex] assistem apenas a "humor e esportes" e [tex]700[\/tex] apenas a "novelas e humorismo"; logo, assistem somente a programas de humor [tex]\\boxed{1080-100-80-700=200}[\/tex] pessoas<\/span>.<\/li>\n<\/ul>\n
![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/Fig009.png\")
<\/p>\nExcluindo do total de [tex]1800[\/tex] pessoas aquelas j\u00e1 distribu\u00eddas no diagrama, conseguimos o n\u00famero de pessoas que n\u00e3o assistem a nenhum dos tr\u00eas programas:
\n[tex]\\qquad \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$1800-100-120-80-700-100-300-200=200$}[\/tex] pessoas.
\nA alternativa correta \u00e9 a [tex]A.[\/tex]\n<\/p><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n\n
Problema 5: <\/strong> O Departamento de Economia de uma determinada institui\u00e7\u00e3o de ensino resolveu fazer um estudo sobre as dificuldades dos seus alunos matriculados no primeiro semestre, visando o oferecimento de monitores para auxiliar na resolu\u00e7\u00e3o de exerc\u00edcios. Foi feita uma pesquisa com [tex]800[\/tex] alunos e foram obtidos os seguintes dados:<\/p>\n- \n
- Disciplina A: [tex]490[\/tex] alunos apontaram dificuldades.<\/li>\n
- Disciplina B: [tex]320[\/tex] alunos apontaram dificuldades.<\/li>\n
- Disciplina C: [tex]160[\/tex] alunos apontaram dificuldades.<\/li>\n
- Disciplinas A e C: [tex]90[\/tex] alunos apontaram dificuldades.<\/li>\n
- Disciplinas A e B: [tex]22[\/tex] alunos apontaram dificuldades.<\/li>\n
- Disciplinas B e C: [tex]78[\/tex] alunos apontaram dificuldades.<\/li>\n
- Todos os alunos apontaram dificuldades em pelo menos uma dessas disciplinas.<\/li>\n<\/ul>\n
Determinar a quantidade de alunos com dificuldades nas tr\u00eas disciplinas simultaneamente.<\/p>\n
\n <\/p>\n\nN\u00e3o temos dados suficientes para preencher um diagrama de Venn e calcular a quantidade de alunos com dificuldades nas tr\u00eas disciplinas. Vamos ent\u00e3o indicar essa quantidade por [tex]x[\/tex] e tentar preencher um diagrama de Venn, em fun\u00e7\u00e3o dessa quantidade [tex]x[\/tex]. Observe que:<\/p>\n- \n
- [tex]800[\/tex] alunos participaram da pesquisa e [tex]800[\/tex] alunos t\u00eam dificuldades em pelo menos uma das disciplinas.<\/li>\n
- Como [tex]22[\/tex] alunos apontam dificuldades em A e B e [tex]x[\/tex] t\u00eam dificuldades em A, B e C, [tex]22-x[\/tex] alunos t\u00eam dificuldades em A e B e n\u00e3o em C.<\/li>\n
- Como [tex]90[\/tex] alunos apontam dificuldades em A e C e [tex]x[\/tex] t\u00eam dificuldades em A, B e C, ent\u00e3o [tex]90-x[\/tex] alunos t\u00eam dificuldades em A e C e n\u00e3o em B.<\/li>\n
- Como [tex]78[\/tex] alunos apontam dificuldades em B e C e [tex]x[\/tex] t\u00eam dificuldades em A, B e C, ent\u00e3o [tex]78-x[\/tex] alunos t\u00eam dificuldades em B e C e n\u00e3o em A.<\/li>\n
- [tex]490[\/tex] alunos apontam dificuldades em A, mas [tex]x[\/tex] t\u00eam dificuldades em A, B e C; [tex]22-x[\/tex] t\u00eam dificuldades s\u00f3 em A e B e [tex]90-x[\/tex] t\u00eam dificuldades s\u00f3 em A e C; logo, [tex]490-x-(22-x)-(90-x)=378+x[\/tex] t\u00eam dificuldades apenas em A <\/span>.<\/li>\n
- [tex]320[\/tex] alunos apontam dificuldades em B, mas [tex]x[\/tex] t\u00eam dificuldades em A, B e C; [tex]22-x[\/tex] t\u00eam dificuldades s\u00f3 em A e B e [tex]78-x[\/tex] t\u00eam dificuldades s\u00f3 em B e C; logo, [tex]320-x-(22-x)-(78-x)=220+x[\/tex] t\u00eam dificuldades apenas em B <\/span>.<\/li>\n
- [tex]160[\/tex] alunos apontam dificuldades em C, mas [tex]x[\/tex] t\u00eam dificuldades em A, B e C; [tex]90-x[\/tex] t\u00eam dificuldades s\u00f3 em A e C e [tex]78-x[\/tex] t\u00eam dificuldades s\u00f3 em B e C; logo, [tex]160-x-(90-x)-(78-x)=x-8[\/tex] t\u00eam dificuldades apenas em C <\/span>.<\/li>\n<\/ul>\n
Pronto, temos o nosso diagrama!<\/p>\n
![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/03\/venn4.png\")
<\/p>\nObserve que a soma de todas as quantidades parciais \u00e9 [tex]800[\/tex], assim:
\n [tex]\\qquad 800=x+(22-x)+(90-x)+(78-x)+(378+x)+(220+x)+(x-8)[\/tex]
\n [tex]\\qquad 800=780+x[\/tex]
\n [tex]\\qquad \\boxed{x=20}[\/tex].
\nSendo assim, temos que [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$20$}[\/tex] alunos apresentaram dificuldades nas tr\u00eas disciplinas.\n<\/p><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n\n
Problema 6: <\/strong> Em um navio de cruzeiro viajam [tex] 1.200 [\/tex] pessoas, das quais:<\/p>\n- \n
- [tex]\\dfrac{2}{3}[\/tex] n\u00e3o bebem.<\/li>\n
- [tex]\\dfrac{4}{5}[\/tex] n\u00e3o fumam.<\/li>\n
- [tex]680[\/tex] n\u00e3o bebem e n\u00e3o fumam.<\/li>\n<\/ul>\n
Quantas das pessoas que est\u00e3o nesse navio bebem e fumam?<\/p>\n
\n <\/p>\nSolu\u00e7\u00e3o 1:<\/strong><\/span>
\nJ\u00e1 que o problema pede o n\u00famero de pessoas que bebem e fumam, vamos converter os dados do problema.<\/p>\n- \n
- Se [tex]\\dfrac{2}{3}[\/tex] das pessoas do navio n\u00e3o bebem, ent\u00e3o [tex]\\dfrac{1}{3}[\/tex] bebem.
\nComo est\u00e3o [tex] 1\\, 200 [\/tex] pessoas no navio, [tex]\\dfrac{1200}{3}=400 [\/tex] bebem.<\/li>\n - Se [tex]\\dfrac{4}{5}[\/tex] das pessoas do navio n\u00e3o fumam, ent\u00e3o [tex]\\dfrac{1}{5}[\/tex] fumam.
\nComo est\u00e3o [tex] 1\\, 200 [\/tex] pessoas no navio, [tex]\\dfrac{1200}{5}=240 [\/tex] fumam.<\/li>\n<\/ul>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/fig013.png\")
<\/p>\n\n
Faremos um diagrama de Venn a partir desses novos dados. Para isso, vamos supor que [tex]x[\/tex] seja o n\u00famero de pessoas do navio que fumam e bebem; assim:<\/p>\n
- \n
- como [tex]400[\/tex] pessoas bebem e [tex]x[\/tex] "fumam e bebem", ent\u00e3o [tex]400-x[\/tex] s\u00f3 bebem.<\/li>\n
- como [tex]240[\/tex] pessoas fumam e [tex]x[\/tex] "fumam e bebem", ent\u00e3o [tex]240-x[\/tex] s\u00f3 fumam.<\/li>\n
- [tex]680[\/tex] pessoas n\u00e3o bebem e n\u00e3o fumam, segundo os dados do problema.<\/li>\n<\/ul>\n
![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/fig012.png\")
<\/p>\nObservamos pelo diagrama que [tex]1200=x+(400-x)+(240-x)+680[\/tex] e, com isso:
\n [tex]\\qquad 1200=x+400-x+240-x+680[\/tex]
\n [tex]\\qquad 1200=1320-x[\/tex]
\n [tex]\\qquad x=1320-1200[\/tex]
\n [tex]\\qquad \\boxed{x=120}[\/tex] .
\nPortanto, no navio h\u00e1 [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$120$}[\/tex] pessoas que bebem e fumam.<\/p>\n\n
\n
\n\n
Solu\u00e7\u00e3o 2:<\/strong><\/span>
\nVamos calcular a quantidade correspondente aos [tex]\\dfrac{2}{3}[\/tex] dos passageiros que n\u00e3o bebem e os [tex]\\dfrac{4}{5}[\/tex] que n\u00e3o fumam:<\/p>\n\n
\n
\n \n [tex]\\dfrac{2}{3}[\/tex] de [tex]1\\, 200[\/tex]:<\/p>\n
[tex]\\qquad \\dfrac{2}{3}1200=\\dfrac{2 \\times \\cancel{1200}}{\\cancel{3}}=2\\times 400=800[\/tex]<\/p>\n
Ent\u00e3o, [tex]800[\/tex] passageiros n\u00e3o bebem.<\/td>\n
\n ![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/fig014.png\")
<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n\n \n [tex]\\dfrac{4}{5}[\/tex] de [tex]1\\, 200[\/tex]:
\n[tex]\\qquad \\dfrac{4}{5} 1200=\\dfrac{4 \\times \\cancel{1200}}{\\cancel{5}}=4\\times 240=960[\/tex]
\nEnt\u00e3o, [tex]960[\/tex] passageiros n\u00e3o fumam.<\/td>\n\n ![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/fig015.png\")
<\/p>\n<\/tr>\n<\/table>\n\n
[tex] \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] Com o aux\u00edlio da figura abaixo, perceba que:<\/p>\n
- \n
- o conjunto dos passageiros que n\u00e3o bebem \u00e9 o complementar do conjunto dos passageiros que bebem <\/li>\n
- o "conjunto dos passageiros que n\u00e3o bebem" cont\u00e9m o "conjunto dos passageiros que n\u00e3o bebem e que n\u00e3o fumam". <\/li>\n<\/ul>\n
Dessa forma, a diferen\u00e7a [tex]800-680=120[\/tex] \u00e9 o n\u00famero de passageiros que fumam e n\u00e3o bebem<\/strong>.<\/p>\n
![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/fig017.png\")
<\/p>\n\n
[tex] \\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex] Agora, com o aux\u00edlio da pr\u00f3xima figura, perceba que:<\/p>\n
- \n
- o conjunto dos passageiros que n\u00e3o fumam \u00e9 o complementar do conjunto dos passageiros que fumam<\/li>\n
- o "conjunto dos passageiros que n\u00e3o fumam" cont\u00e9m o "conjunto dos passageiros que n\u00e3o bebem e que n\u00e3o fumam". <\/li>\n<\/ul>\n
Dessa forma, a diferen\u00e7a [tex]960-680=280[\/tex] \u00e9 o n\u00famero de passageiros que bebem e n\u00e3o fumam<\/strong>.<\/p>\n
![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/fig018.png\")
<\/p>\n\n
Dessa forma, se denotarmos por [tex]m[\/tex] o n\u00famero de passageiros que fumam e bebem, teremos o pr\u00f3ximo diagrama.<\/p>\n
![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/fig019.png\")
<\/p>\nEsse gr\u00e1fico nos mostra que:
\n [tex]\\qquad 1200=280+m+120+680[\/tex]
\n [tex]\\qquad 1200=1080+m[\/tex]
\n [tex]\\qquad m=1200-1080[\/tex]
\n [tex]\\qquad \\boxed{m=120}[\/tex].
\nPortanto, no navio existem [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$120$}[\/tex] pessoas que bebem e fumam.\n<\/p><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n\n
Problema 7: <\/strong> (ENEM 2013) Numa escola com 1 200 alunos foi realizada uma pesquisa sobre o conhecimento desses em duas l\u00ednguas estrangeiras, ingl\u00eas e espanhol. Nessa pesquisa constatou-se que 600 alunos falam ingl\u00eas, 500 falam espanhol e 300 n\u00e3o falam qualquer um desses idiomas.
\nEscolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e sabendo-se que ele n\u00e3o fala ingl\u00eas qual a probabilidade de que esse aluno fale espanhol?<\/strong>
\n[tex]\\qquad (A)\\, \\dfrac{1}{2}. \\qquad (B)\\, \\dfrac{5}{8}. \\qquad (C)\\, \\dfrac{1}{4}. \\qquad (D)\\, \\dfrac{5}{6}. \\qquad (E)\\, \\dfrac{5}{14}.[\/tex]<\/p>\n\n <\/p>\n\nNeste caso, sabemos que:<\/p>\n- \n
- a probabilidade \u00e9 dada pelo quociente entre o \u201cn\u00famero de casos favor\u00e1veis\u201d e \u201cn\u00famero total de casos\u201d:<\/li>\n<\/ul>\n
\n
\n [tex]P=[\/tex]<\/td>\n n\u00famero de casos favor\u00e1veis<\/strong><\/em><\/span> <\/td>\n<\/tr>\n \n n\u00famero de casos poss\u00edveis<\/strong><\/em> <\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n - \n
- o espa\u00e7o amostral do problema \u00e9 formado pelos alunos da escola que n\u00e3o falam ingl\u00eas; portanto, o n\u00famero de casos poss\u00edveis \u00e9 a "quantidade de alunos da escola que n\u00e3o falam ingl\u00eas";<\/li>\n
- o n\u00famero casos favor\u00e1veis \u00e9 a "quantidade de alunos da escola que n\u00e3o falam ingl\u00eas e falam espanhol".<\/li>\n<\/ul>\n
Utilizaremos um diagrama de Venn para visualizarmos melhor os dados do problema e calcularmos essas duas quantidades. Vamos l\u00e1!
\nDos [tex]1\\, 200[\/tex] alunos da escola, [tex]300[\/tex] n\u00e3o falam nenhuma l\u00edngua; logo, [tex]1200-300 = 900[\/tex] alunos falam pelo menos uma l\u00edngua. Desses, [tex]600[\/tex] falam ingl\u00eas, [tex]500[\/tex] falam espanhol e certa quantidade, que denotaremos por [tex]x[\/tex], falam as duas l\u00ednguas.
\nVamos montar o nosso diagrama de Venn a partir dessas duas informa\u00e7\u00f5es. Nesse diagrama:<\/p>\n\n\t►\t [tex]I[\/tex] indicar\u00e1 o conjunto dos alunos da escola que falam ingl\u00eas;<\/span>
\n\t►\t [tex]E[\/tex] indicar\u00e1 o conjunto dos alunos da escola que falam espanhol;<\/span>
\n\t►\t [tex]A[\/tex] indicar\u00e1 o conjunto universo, ou seja, o conjunto de todos os alunos da escola.<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/Fig006_1.png\")
\nObserve que:<\/p>\n- \n
- Como [tex]600[\/tex] alunos falam ingl\u00eas e [tex]x\\, [\/tex] falam "ingl\u00eas e espanhol", ent\u00e3o [tex]600-x[\/tex] alunos falam somente ingl\u00eas<\/span>.<\/li>\n
- Como [tex]500[\/tex] alunos falam espanhol e [tex]x\\, [\/tex] falam "ingl\u00eas e espanhol", ent\u00e3o [tex]500-x[\/tex] alunos falam somente espanhol <\/span>.<\/li>\n<\/ul>\n
Sendo assim, segue que:
\n[tex] \\qquad (600-x)+(500-x)+x+300=1200[\/tex]
\n[tex] \\qquad 1400-x=1200[\/tex]
\n[tex] \\qquad \\boxed{x=200}\\, .[\/tex]<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/Fig007.png\")
<\/p>\nCom isso, finalizamos o nosso diagrama de Venn e podemos calcular a probabilidade solicitada no problema:<\/p>\n
- \n
- Casos poss\u00edveis: alunos da escola que n\u00e3o falam ingl\u00eas
\n[tex] \\qquad cp= \\textcolor{red}{300} + \\textcolor{#FFA500}{300}[\/tex]
\n[tex] \\qquad \\boxed{cp=600}[\/tex]
\nou, de outra forma,
\n[tex] \\qquad cp= 1200 -(\\textcolor{00BFFF}{400}+200)[\/tex]
\n[tex] \\qquad \\boxed{cp=600}[\/tex].<\/li>\n - Casos favor\u00e1veis: alunos da escola que n\u00e3o falam ingl\u00eas e falam espanhol
\n[tex] \\qquad \\boxed{cf=300}[\/tex].<\/li>\n - Probabilidade:
\n[tex]\\qquad P=\\dfrac{cf}{cp}=\\dfrac{300}{600}[\/tex]
\n [tex]\\qquad\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$P=\\dfrac{1}{2}$}[\/tex] .\n<\/li>\n<\/ul>\nAlternativa correta: [tex](A).[\/tex]<\/strong>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
\n
\nProblema 8: <\/strong> (Vunesp 2014) Tr\u00eas conjuntos, [tex]A,B[\/tex] e [tex]C[\/tex], t\u00eam um total de [tex]40[\/tex] elementos. Sabe-se que [tex]7[\/tex] elementos pertencem apenas ao conjunto [tex]A[\/tex], [tex]10[\/tex] elementos, apenas ao conjunto [tex]B[\/tex], [tex]13[\/tex] elementos, apenas ao conjunto [tex]C[\/tex], e pelo menos um elemento pertence simultaneamente aos tr\u00eas conjuntos. Os demais elementos podem pertencer ou a dois desses conjuntos ou aos tr\u00eas conjuntos. Desse modo, a maior diferen\u00e7a poss\u00edvel da quantidade total de elementos de certo conjunto em rela\u00e7\u00e3o \u00e0 quantidade total de elementos de outro conjunto \u00e9:<\/strong>
\n[tex]\\qquad (A)\\, 4. \\qquad (B)\\, 17. \\qquad (C)\\, 6. \\qquad (D)\\, 15. \\qquad (E)\\, 27.[\/tex]<\/p>\n\n <\/p>\n\n Vamos utilizar um diagrama com tr\u00eas conjuntos e preench\u00ea-lo de acordo com os dados do problema:<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/Fig004_1.png\")
<\/p>\n- \n
- [tex]7[\/tex] elementos pertencem apenas ao conjunto [tex]A[\/tex]<\/span>.<\/li>\n
- [tex]10[\/tex] elementos pertencem apenas ao conjunto [tex]B[\/tex]<\/span>.<\/li>\n
- [tex]13[\/tex] elementos pertencem apenas ao conjunto [tex]C[\/tex]<\/span>.<\/li>\n
- Pelo menos um elemento pertence simultaneamente aos tr\u00eas conjuntos: j\u00e1 vamos marc\u00e1-lo na respectiva regi\u00e3o, embora n\u00e3o saibamos ainda se existem outros elementos que pertencem simultaneamente aos tr\u00eas conjuntos.<\/span><\/li>\n
- Como os tr\u00eas conjuntos juntos t\u00eam [tex]40[\/tex] elementos e os demais elementos ainda n\u00e3o distribu\u00eddos pertencem a dois ou a tr\u00eas dos conjuntos [tex]A,B,C[\/tex], ent\u00e3o o conjunto universo do problema tem [tex]40[\/tex] elementos e o n\u00famero de elementos que n\u00e3o pertencem a [tex]A[\/tex], nem a [tex]B[\/tex] e nem a [tex]C[\/tex] \u00e9 zero<\/span>.<\/li>\n
- Para o preenchimento de tr\u00eas das regi\u00f5es definidas no diagrama n\u00e3o temos informa\u00e7\u00f5es.<\/li>\n<\/ul>\n
Note que faltam ser distribu\u00eddos entre as regi\u00f5es assinaladas com o s\u00edmbolo de interroga\u00e7\u00e3o (?<\/strong>) um total de [tex]40-(7+10+13+1)=9[\/tex] elementos.
\nA distribui\u00e7\u00e3o desses [tex]9[\/tex] elementos deve ser feita de modo que "a diferen\u00e7a entre a quantidade total de elementos de um dos tr\u00eas conjuntos e quantidade total de elementos de outro dos tr\u00eas conjuntos" seja a maior poss\u00edvel. E para que isso aconte\u00e7a devemos fazer a diferen\u00e7a entre os conjuntos que, ap\u00f3s a distribui\u00e7\u00e3o, ficarem com a maior e a menor quantidade de elementos.
\nVamos ent\u00e3o determinar a quantidade de elementos que cada um dos conjuntos [tex]A,B[\/tex] e [tex]C[\/tex] t\u00eam at\u00e9 o momento:<\/p>\n- \n
- Conjunto [tex]A:\\textcolor{#FF0000}{7}+\\textcolor{#FF8C00}{1}=8[\/tex] elementos;<\/li>\n
- Conjunto [tex]B:\\textcolor{#0000FF}{10}+\\textcolor{#FF8C00}{1}=11[\/tex] elementos;<\/li>\n
- Conjunto [tex]C:\\textcolor{#228B22}{13}+\\textcolor{#FF8C00}{1}=14[\/tex] elementos.<\/li>\n<\/ul>\n
Antes da distribui\u00e7\u00e3o o conjunto [tex]A[\/tex] tem o menor n\u00famero de elementos e [tex]C[\/tex], o maior; dessa forma, observamos que:
\n(1)<\/strong> Se o conjunto [tex]C[\/tex] receber os nove elementos, ele ficar\u00e1 com a maior quantidade poss\u00edvel de elementos que um dos tr\u00eas conjuntos deve ter: [tex]14+9=23[\/tex] elementos.
\n(2)<\/strong> Se o conjunto [tex]A[\/tex] n\u00e3o receber mais elementos, ele ficar\u00e1 com a menor quantidade poss\u00edvel de elementos que um dos tr\u00eas conjuntos deve ter: [tex]8[\/tex] elementos.
\nFinalizando, os nove elementos devem ent\u00e3o ficar na regi\u00e3o correspondente \u00e0 interse\u00e7\u00e3o [tex]\\boxed{C \\cap B}[\/tex] e, com isso, fechamos a distribui\u00e7\u00e3o dos [tex]9[\/tex] elementos entre as regi\u00f5es internas do nosso diagrama de Venn!
\nPortanto, a maior diferen\u00e7a poss\u00edvel solicitada no problema ser\u00e1 dada por
\n [tex]\\qquad\\qquad \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$(13+9+1)-8=15$}[\/tex]
\n e a alternativa correta \u00e9 a [tex](D).[\/tex]
\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/02\/Fig005.png\")
<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n\n
Problema 9: <\/strong> (UFBA – adaptado) Numa academia de gin\u00e1stica que oferece v\u00e1rias op\u00e7\u00f5es de atividades f\u00edsicas, foi feita uma pesquisa para saber o n\u00famero de pessoas matriculadas em alongamento, hidrogin\u00e1stica e muscula\u00e7\u00e3o, chegando-se ao resultado expresso na tabela a seguir:<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/03\/fig028.png\")
<\/p>\nCom base nessas informa\u00e7\u00f5es, verifique quais das afirma\u00e7\u00f5es abaixo s\u00e3o verdadeiras.
\n (01)<\/strong><\/span> A pesquisa envolveu [tex]500[\/tex] pessoas.
\n (02)<\/strong><\/span> [tex]61[\/tex] pessoas estavam matriculadas apenas em alongamento.
\n (03)<\/strong><\/span> [tex]89[\/tex] pessoas estavam matriculadas em pelo menos duas das atividades indicadas na tabela.
\n (04)<\/strong><\/span> O n\u00famero de pessoas matriculadas apenas em hidrogin\u00e1stica corresponde a [tex]28,4\\%[\/tex] do total de pessoas envolvidas na pesquisa.<\/p>\n\n <\/p>\n\nVamos analisar os dados fornecidos pelo problema e construir um diagrama de Venn para verificar a veracidade de cada uma das quatro afirma\u00e7\u00f5es.
\nFaremos o preenchimento do diagrama iniciando com os dados mais restritivos:<\/p>\n- \n
- Grupo de alunos que praticam as tr\u00eas modalidades: [tex]5[\/tex] alunos.<\/li>\n
- S\u00e3o [tex]25[\/tex] alunos que praticam alongamento e hidrogin\u00e1stica; mas, destes, [tex]5[\/tex] tamb\u00e9m praticam muscula\u00e7\u00e3o. Assim, o grupo de alunos que praticam apenas alongamento e hidrogin\u00e1stica \u00e9 composto de [tex]25-5=20[\/tex] alunos<\/span>.<\/li>\n
- S\u00e3o [tex]28[\/tex] alunos que praticam alongamento e muscula\u00e7\u00e3o; mas, destes, [tex]5[\/tex] tamb\u00e9m praticam hidrogin\u00e1stica. Assim, o grupo de alunos que praticam apenas alongamento e muscula\u00e7\u00e3o \u00e9 composto de [tex]28-5=23[\/tex] alunos<\/span>.<\/li>\n
- S\u00e3o [tex]41[\/tex] alunos que praticam hidrogin\u00e1stica e muscula\u00e7\u00e3o; mas, destes, [tex]5[\/tex] tamb\u00e9m praticam alongamento. Assim, o grupo de alunos que praticam apenas hidrogin\u00e1stica e muscula\u00e7\u00e3o \u00e9 composto de [tex]41-5=36[\/tex] alunos<\/span>.<\/li>\n
- S\u00e3o [tex]109[\/tex] alunos que fazem alongamento; mas, destes, podemos retirar [tex]20[\/tex] que tamb\u00e9m fazem hidrogin\u00e1stica, [tex]23[\/tex] que tamb\u00e9m praticam muscula\u00e7\u00e3o e [tex]5[\/tex] que fazem as tr\u00eas modalidades. Assim, o grupo de alunos que fazem exclusivamente alongamento \u00e9 composto de [tex]109-20-23-5=61[\/tex] alunos<\/span>.<\/li>\n
- Dos [tex]203[\/tex] alunos que fazem hidrogin\u00e1stica, podemos desconsiderar os [tex]20[\/tex] que tamb\u00e9m fazem alongamento, os [tex]36[\/tex] que tamb\u00e9m praticam muscula\u00e7\u00e3o e os [tex]5[\/tex] que fazem as tr\u00eas modalidades. Assim, o grupo de alunos que fazem exclusivamente hidrogin\u00e1stica \u00e9 composto de [tex]203-20-36-5=142[\/tex] alunos<\/span>.<\/li>\n
- Dos [tex]162[\/tex] alunos que fazem muscula\u00e7\u00e3o, podemos descontar os [tex]23[\/tex] que tamb\u00e9m fazem alongamento, os [tex]36[\/tex] que tamb\u00e9m praticam hidrogin\u00e1stica e os [tex]5[\/tex] que fazem as tr\u00eas modalidades. Assim, o grupo de alunos que fazem exclusivamente muscula\u00e7\u00e3o \u00e9 composto de [tex]162-23-36-5=98[\/tex] alunos<\/span>.<\/li>\n
- Temos ainda [tex]115[\/tex]<\/span> alunos que fazem outras modalidades.<\/li>\n<\/ul>\n
A partir dessas informa\u00e7\u00f5es, podemos montar o seguinte diagrama de Venn<\/p>\n
![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2018\/03\/fig029.png\")
<\/p>\ne iniciar a an\u00e1lise das quatro afirma\u00e7\u00f5es.
\n (01)<\/strong><\/span> A pesquisa envolveu [tex]500[\/tex] pessoas.<\/strong>
\nSomando todos os valores que aparecem no diagrama, temos:
\n[tex] \\qquad 142 + 20 + 5 + 36 + 23 + 61 + 98 + 115 = 500.[\/tex]
\nAssim, a afirma\u00e7\u00e3o \u00e9 verdadeira<\/strong><\/span>, pois a pesquisa envolveu, de fato, [tex]500[\/tex] pessoas.<\/p>\n\n
(02)<\/strong><\/span> [tex]61[\/tex] pessoas estavam matriculadas apenas em alongamento.<\/strong>
\nAnalisando o diagrama, observamos que afirma\u00e7\u00e3o \u00e9 verdadeira<\/strong><\/span>.<\/p>\n\n
(03)<\/strong><\/span> [tex]89[\/tex] pessoas estavam matriculadas em pelo menos duas das atividades indicadas na tabela.<\/strong>
\nOs que foram matriculados em pelo menos duas das atividades s\u00e3o aqueles que aparecem nas intersec\u00e7\u00f5es:
\n[tex] \\qquad 36 + 23 + 20 + 5 = 84.[\/tex]
\nCom isso, s\u00e3o [tex] 84 [\/tex] pessoas praticando, pelo menos, duas das atividades. Portanto, a afirma\u00e7\u00e3o \u00e9 falsa<\/strong><\/span>.<\/p>\n\n
\n
(04)<\/strong><\/span> O n\u00famero de pessoas matriculadas apenas em hidrogin\u00e1stica corresponde a [tex]28,4\\%[\/tex] do total de pessoas envolvidas na pesquisa.
\nConsiderando o total de [tex]500[\/tex] alunos entrevistados como [tex]100\\%[\/tex], vamos determinar a porcentagem correspondente a [tex]142[\/tex], que \u00e9 o n\u00famero de pessoas matriculadas apenas em hidrogin\u00e1stica. Para isso, utilizaremos uma regra de tr\u00eas simples.<\/p>\n\n
\n [tex]500[\/tex] <\/td>\n —————————-<\/td>\n [tex]100\\%[\/tex]<\/td>\n Temos que [tex]\\boxed{500x=142\\cdot 100}[\/tex]; donde [tex]\\boxed{x =\\dfrac{14200}{500}=28,4}[\/tex].<\/td>\n<\/tr>\n \n [tex]142[\/tex] <\/td>\n —————————-<\/td>\n [tex]x\\%[\/tex] <\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n Assim, a porcentagem correspondente \u00e0s pessoas matriculadas apenas em hidrogin\u00e1stica \u00e9 [tex]28,4\\%[\/tex], o que mostra que a afirma\u00e7\u00e3o \u00e9 verdadeira<\/strong><\/span>.<\/p>\n
\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
\n
\n
Precisam de problemas para praticar?
\nAqui v\u00e3o alguns!<\/p>\n\n
\n Problemas <\/span><\/a>\n<\/div>\n\n
\n
\n
\n - S\u00e3o [tex]28[\/tex] alunos que praticam alongamento e muscula\u00e7\u00e3o; mas, destes, [tex]5[\/tex] tamb\u00e9m praticam hidrogin\u00e1stica. Assim, o grupo de alunos que praticam apenas alongamento e muscula\u00e7\u00e3o \u00e9 composto de [tex]28-5=23[\/tex] alunos<\/span>.<\/li>\n
- [tex]10[\/tex] elementos pertencem apenas ao conjunto [tex]B[\/tex]<\/span>.<\/li>\n
- [tex]7[\/tex] elementos pertencem apenas ao conjunto [tex]A[\/tex]<\/span>.<\/li>\n
- Como [tex]500[\/tex] alunos falam espanhol e [tex]x\\, [\/tex] falam "ingl\u00eas e espanhol", ent\u00e3o [tex]500-x[\/tex] alunos falam somente espanhol <\/span>.<\/li>\n<\/ul>\n
- Como [tex]600[\/tex] alunos falam ingl\u00eas e [tex]x\\, [\/tex] falam "ingl\u00eas e espanhol", ent\u00e3o [tex]600-x[\/tex] alunos falam somente ingl\u00eas<\/span>.<\/li>\n
- a probabilidade \u00e9 dada pelo quociente entre o \u201cn\u00famero de casos favor\u00e1veis\u201d e \u201cn\u00famero total de casos\u201d:<\/li>\n<\/ul>\n
- Se [tex]\\dfrac{2}{3}[\/tex] das pessoas do navio n\u00e3o bebem, ent\u00e3o [tex]\\dfrac{1}{3}[\/tex] bebem.
- [tex]320[\/tex] alunos apontam dificuldades em B, mas [tex]x[\/tex] t\u00eam dificuldades em A, B e C; [tex]22-x[\/tex] t\u00eam dificuldades s\u00f3 em A e B e [tex]78-x[\/tex] t\u00eam dificuldades s\u00f3 em B e C; logo, [tex]320-x-(22-x)-(78-x)=220+x[\/tex] t\u00eam dificuldades apenas em B <\/span>.<\/li>\n
- Os dados indicam que [tex]1220[\/tex] pessoas assistem a novelas e dessas [tex]100[\/tex] assistem aos tr\u00eas tipos de programas, [tex]120[\/tex] assistem a apenas "esportes e novelas" e [tex]700[\/tex] a apenas "novelas e humorismo"; portanto, assistem somente a novelas [tex]\\boxed{1220-100-120-700=300}[\/tex] pessoas<\/span>.<\/li>\n
- Assistem a esportes e humorismo [tex]180[\/tex] pessoas, mas destas [tex]100[\/tex] tamb\u00e9m j\u00e1 foram indicados em (1); logo, assistem a apenas esportes e humorismo [tex]\\boxed{180-100=80}[\/tex] pessoas<\/span>.<\/li>\n
- Assistem a esportes e novelas [tex]220[\/tex] pessoas, mas destas [tex]100[\/tex] j\u00e1 foram indicadas em (1); logo, assistem a apenas esportes e novelas [tex]\\boxed{220-100=120}[\/tex] pessoas<\/span>.<\/li>\n
- os alunos que gostam de MPB somam [tex]116[\/tex], mas destes j\u00e1 sabemos que [tex]52[\/tex] tamb\u00e9m gostam de Pop; assim, [tex]116-52=64[\/tex] gostam apenas de MPB<\/span>;<\/li>\n
- A regi\u00e3o azul corresponde \u00e0 quantidade de pessoas que se informavam apenas pelo site B<\/strong>: [tex]150-20=130[\/tex].<\/li>\n
- [tex]90[\/tex] alunos acertaram a segunda quest\u00e3o, mas destes [tex]50[\/tex] acertaram as duas; assim, [tex]90-50=40[\/tex] acertaram apenas a segunda;<\/span><\/li>\n<\/ul>\n
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