{"id":100278,"date":"2018-03-20T12:10:23","date_gmt":"2018-03-20T15:10:23","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=100278"},"modified":"2020-11-02T21:23:42","modified_gmt":"2020-11-02T23:23:42","slug":"diagrama-de-venn-conjuntos","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/diagrama-de-venn-conjuntos\/","title":{"rendered":".Diagrama de Venn – Conjuntos"},"content":{"rendered":"

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\n

\n

Usando diagramas de Venn para ajudar a
\nentender a linguagem de conjuntos<\/p>\n

\n

Aqui, vamos utilizar diagramas de Venn <\/em> para ilustrar e tentar entender algumas defini\u00e7\u00f5es que aparecem de vez em quando nos nossos estudos. <\/strong><\/p>\n

\n

I – Rela\u00e7\u00e3o de Pertin\u00eancia<\/p>\n

\n

\n

Os objetos que comp\u00f5em um conjunto s\u00e3o denominados “elementos<\/em>” do conjunto em quest\u00e3o. A pertin\u00eancia (ato de pertencer)<\/span> a um conjunto \u00e9 usualmente indicada pelo s\u00edmbolo [tex]\\in[\/tex] e, a n\u00e3o pertin\u00eancia, pelo s\u00edmbolo [tex]\\notin [\/tex]. Assim:
\n ►<\/strong><\/span> a nota\u00e7\u00e3o [tex]x \\in X[\/tex] significa que "o objeto [tex]x[\/tex] \u00e9 elemento do conjunto [tex]X[\/tex]";
\n ►<\/strong><\/span> a nota\u00e7\u00e3o [tex]b \\notin B[\/tex] indica que "o objeto [tex]b[\/tex] n\u00e3o \u00e9 elemento do conjunto [tex]B[\/tex]".
\n<\/span> Dessa forma, utilizando a figura abaixo, podemos usar as express\u00f5es:
\n ●<\/strong><\/span> [tex]2 \\in A[\/tex] para indicar que o n\u00famero [tex]2[\/tex] \u00e9 elemento do conjunto [tex]A[\/tex].
\n ●<\/strong><\/span> [tex]5 \\notin A[\/tex] para indicar que o n\u00famero [tex]5[\/tex] n\u00e3o \u00e9 elemento do conjunto [tex]A[\/tex].<\/p>\n

\n

\"s02\"<\/p>\n

\n

<\/span> Dependendo do contexto, o s\u00edmbolo [tex]\\in[\/tex] pode ser lido como <\/p>\n

– “\u00e9 elemento de”;
\n– “\u00e9 membro de”;
\n– “est\u00e1 em”, “pertence a”; <\/em><\/p>\n

e a sua nega\u00e7\u00e3o [tex]\\notin [\/tex] pode ser lida como <\/p>\n

– “n\u00e3o \u00e9 elemento de”;
\n– “n\u00e3o \u00e9 membro de”;
\n– “n\u00e3o est\u00e1 em”, “n\u00e3o pertence a”.<\/em><\/p>\n

Particularmente, um conjunto que n\u00e3o tem elementos \u00e9 o que definimos como um "conjunto vazio<\/em>" e \u00e9 representado pelo s\u00edmbolo [tex]\\emptyset[\/tex] ou por [tex]\\{ \\, \\, \\}[\/tex].
\nAssim, por exemplo, se [tex]S[\/tex] \u00e9 o conjunto dos n\u00fameros naturais que s\u00e3o pares e \u00edmpares simultaneamente, ent\u00e3o [tex]S=\\emptyset.[\/tex]
\nObservamos que \u00e9 absolutamente incorreto utilizar [tex]\\{\\emptyset\\}[\/tex] para representar o conjunto vazio.<\/p>\n<\/div>\n

\n

\n
\n
\n
\n
\n

\n

\n

II – Rela\u00e7\u00e3o de Inclus\u00e3o<\/p>\n

\n

\n

Se todo elemento de um conjunto [tex]A[\/tex] \u00e9 tamb\u00e9m elemento de um conjunto [tex]B[\/tex], dizemos que [tex]A[\/tex] est\u00e1 contido em [tex]B[\/tex] (ou que [tex]A[\/tex] \u00e9 subconjunto de [tex]B[\/tex]) e utilizamos a nota\u00e7\u00e3o [tex]A \\subset B[\/tex].<\/p>\n

\"s03\"<\/p>\n

\n

Com rela\u00e7\u00e3o \u00e0 figura acima, podemos escrever que:
\n ►<\/strong><\/span> [tex]A \\subset B[\/tex], para indicar que [tex]A[\/tex] \u00e9 subconjunto de [tex]B[\/tex];
\n ►<\/strong><\/span> [tex]A \\subset S[\/tex], para indicar que [tex]A[\/tex] \u00e9 subconjunto de [tex]S[\/tex];
\n ►<\/strong><\/span> [tex]B \\subset S[\/tex], para indicar que [tex]B[\/tex] \u00e9 subconjunto de [tex]S[\/tex];
\n ►<\/strong><\/span> [tex]A \\subset B \\subset S[\/tex], para indicar as tr\u00eas inclus\u00f5es.<\/p>\n

\n

Se existir pelo menos um elemento de um conjunto [tex]X[\/tex] que n\u00e3o seja elemento de um conjunto [tex]M[\/tex], dizemos que [tex]X[\/tex] n\u00e3o est\u00e1 contido em [tex]M[\/tex] (ou que [tex]X[\/tex] n\u00e3o \u00e9 subconjunto de [tex]M[\/tex]) e utilizamos a nota\u00e7\u00e3o [tex]X \\not\\subset M[\/tex].
\nCom rela\u00e7\u00e3o \u00e0 figura acima, podemos escrever que:
\n ►<\/strong><\/span> [tex]B \\not\\subset A[\/tex], para indicar que [tex]B[\/tex] n\u00e3o \u00e9 subconjunto de [tex]A[\/tex];
\n ►<\/strong><\/span> [tex]S \\not\\subset A[\/tex], para indicar que [tex]S[\/tex] n\u00e3o \u00e9 subconjunto de [tex]A[\/tex];
\n ►<\/strong><\/span> [tex]S \\not\\subset B[\/tex], para indicar que [tex]S[\/tex] n\u00e3o \u00e9 subconjunto de [tex]B[\/tex].\n<\/div>\n

\n

\n
\n
\n
\n
\n

\n

\n

III – Opera\u00e7\u00f5es com conjuntos<\/p>\n

\n

\n

Assim como podemos somar e multiplicar n\u00fameros, existem algumas opera\u00e7\u00f5es que podemos fazer com conjuntos. Com isso, \u00e9 poss\u00edvel criarmos novos conjuntos a partir de conjuntos dados utilizando essas opera\u00e7\u00f5es, dentre as quais destacamos: a uni\u00e3o (reuni\u00e3o), a interse\u00e7\u00e3o e a diferen\u00e7a. Vamos relembrar como efetuar cada uma delas e ilustr\u00e1-las com diagramas de Venn<\/em>.<\/p>\n

\n

\n

Uni\u00e3o (Reuni\u00e3o) de conjuntos<\/p>\n

\n

A uni\u00e3o (reuni\u00e3o) de dois conjuntos [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex] \u00e9 o conjunto indicado por [tex]A \\cup B[\/tex] e formado por todos os elementos de [tex]A[\/tex] e por todos os elementos de [tex]B[\/tex].
\nEm s\u00edmbolos:
\n[tex]\\qquad A \\cup B = \\{ x \\, ; \\, x \\in A \\textrm{ ou }\\, x \\in B\\}[\/tex].<\/p>\n

\"s07\"<\/p>\n

\n

Na figura acima, [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex] s\u00e3o representados pelos c\u00edrculos e [tex]A \\cup B[\/tex] \u00e9 a parte sombreada.
\nNas imagens abaixo, podemos visualizar a uni\u00e3o [tex]A \\cup B[\/tex] em outras situa\u00e7\u00f5es relativas dos conjuntos [tex]A[\/tex] e [tex]B.[\/tex]<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

A segunda e a terceira imagens ilustram uma propriedade caracter\u00edstica de subconjuntos:
\n<\/span>se [tex]X[\/tex] \u00e9 um subconjunto de [tex]Z[\/tex] ([tex]X \\subset Z[\/tex]), ent\u00e3o [tex]X \\cup Z=Z.[\/tex] <\/p>\n<\/div>\n

\n

\n

Interse\u00e7\u00e3o de conjuntos<\/p>\n

\n

A interse\u00e7\u00e3o de dois conjuntos [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex] \u00e9 o conjunto indicado por [tex]A \\cap B[\/tex] e formado pelos elementos comuns a [tex]A[\/tex] e a [tex]B[\/tex].
\nAssim:
\n[tex]\\qquad A \\cap B = \\{ x \\, ; \\, x \\in A \\text{ e } x \\in B\\}[\/tex].<\/p>\n

\"s05\"<\/p>\n

\n

Na figura acima, [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex] s\u00e3o tamb\u00e9m representados pelos c\u00edrculos e [tex]A \\cap B[\/tex] \u00e9 a parte sombreada.
\nNas imagens abaixo, podemos visualizar a interse\u00e7\u00e3o [tex]A \\cap B[\/tex] em outras situa\u00e7\u00f5es relativas dos conjuntos [tex]A[\/tex] e [tex]B.[\/tex]<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

A primeira imagem ilustra uma situa\u00e7\u00e3o importante: os conjuntos [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex] n\u00e3o t\u00eam elementos em comum. Nesse caso, [tex]A \\cap B=\\emptyset \\, [\/tex] e dizemos que [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex] s\u00e3o disjuntos.
\nA segunda e a terceira imagens ilustram mais uma propriedade caracter\u00edstica de subconjuntos:
\n<\/span>se [tex]X[\/tex] \u00e9 um subconjunto de [tex]Z[\/tex] ([tex]X \\subset Z[\/tex]), ent\u00e3o [tex]X \\cap Z=X.[\/tex]<\/p>\n<\/div>\n

\n

\n

Diferen\u00e7a de conjuntos<\/p>\n

\n

A diferen\u00e7a entre dois conjuntos [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex] \u00e9 o conjunto indicado por [tex]A-B[\/tex] e formado pelos elementos de [tex]A[\/tex] que n\u00e3o s\u00e3o elementos de [tex]B[\/tex].
\nDessa forma:
\n[tex]\\qquad A\u2013B = \\{ x \\, ; \\, x \\in A \\text{ e }\\, x \\notin B\\}[\/tex].<\/p>\n

\"s06\"<\/p>\n

\n

Na figura acima, uma vez mais, [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex] s\u00e3o representados pelos c\u00edrculos e [tex]A-B[\/tex] \u00e9 a parte sombreada.
\nNas imagens abaixo, podemos visualizar a diferen\u00e7a [tex]A-B[\/tex] em outras situa\u00e7\u00f5es relativas dos conjuntos [tex]A[\/tex] e [tex]B.[\/tex]<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Como a diferen\u00e7a [tex]A-B[\/tex] \u00e9, informalmente, "o que sobra de [tex]A[\/tex] quando apagamos [tex]B[\/tex]", a primeira e a terceira imagens acima ilustram, respectivamente, que:
\n<\/span>se [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex] s\u00e3o disjuntos ([tex]A \\cap B=\\emptyset \\, [\/tex]), ent\u00e3o [tex]A-B=A.[\/tex]
\n<\/span>se [tex]A[\/tex] \u00e9 subconjunto de [tex]B[\/tex]([tex]A \\subset B \\, [\/tex]), ent\u00e3o [tex]A-B=\\emptyset.[\/tex]<\/p>\n

\n

Quando temos [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex] conjuntos tais que [tex]B \\subset A[\/tex] (segunda imagem acima), a diferen\u00e7a [tex]A\u2013B[\/tex] \u00e9 denominada o "complementar de [tex]B[\/tex], com rela\u00e7\u00e3o a [tex]A[\/tex]<\/em>" e indicada por [tex]\\complement_A^B [\/tex]. Particularmente, se [tex]S[\/tex] \u00e9 um conjunto que cont\u00e9m todos os conjuntos envolvidos em uma determinada discuss\u00e3o, a diferen\u00e7a [tex]S-X[\/tex] \u00e9 dita, simplesmente, o complementar de [tex]X[\/tex] e \u00e9 indicada com a nota\u00e7\u00e3o [tex]\\complement X [\/tex] ou [tex]\\overline{X}[\/tex].\n<\/div>\n

\n<\/div>\n

Podemos utilizar diagramas de Venn <\/em> para ajudar no entendimento de propriedades dessas tr\u00eas opera\u00e7\u00f5es definidas. Abaixo vamos apresentar cinco dessas propriedades e ilustrar tr\u00eas delas. <\/strong><\/p>\n

\n

IV – Algumas propriedades importantes<\/p>\n

\n

\n

Sejam [tex]A[\/tex], [tex]B[\/tex] e [tex]C[\/tex] conjuntos quaisquer; ent\u00e3o valem as propriedades abaixo.<\/p>\n

\n►<\/strong><\/span> Comutatividade da uni\u00e3o<\/strong>
\n [tex]\\qquad (A \\cup B) = (B \\cup A)[\/tex]
\n►<\/strong><\/span> Comutatividade da interse\u00e7\u00e3o <\/strong>
\n[tex]\\qquad (A \\cap B) = (B \\cap A)[\/tex]
\n►<\/strong><\/span> Distributividade da uni\u00e3o em rela\u00e7\u00e3o \u00e0 interse\u00e7\u00e3o<\/strong>
\n[tex]\\qquad A \\cup (B \\cap C) = (A \\cup B) \\cap (A \\cup C)[\/tex]
\n►<\/strong><\/span> Distributividade da interse\u00e7\u00e3o em rela\u00e7\u00e3o \u00e0 uni\u00e3o<\/strong>
\n [tex]\\qquad A \\cap (B \\cup C) = (A \\cap B) \\cup (A \\cap C)[\/tex]
\nSe [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex] forem subconjuntos de um conjunto [tex]S[\/tex], ent\u00e3o valem tamb\u00e9m as duas pr\u00f3ximas propriedades.
\n►<\/strong><\/span> Leis de De Morgan<\/em><\/strong>
\n[tex]\\qquad \\overline{A} \\cup \\overline{B} = \\overline{A \\cap B}[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\overline{A} \\cap \\overline{B} = \\overline{A \\cup B}[\/tex]\n<\/p>\n

Observa\u00e7\u00e3o: <\/strong>Em fun\u00e7\u00e3o das comutatividades da uni\u00e3o e da interse\u00e7\u00e3o, as duas distributividades podem ser assim reescritas:
\n[tex]\\qquad (B \\cap C) \\cup A = (B \\cup A) \\cap (C \\cup A)[\/tex];
\n[tex]\\qquad (B \\cup C) \\cap A = (B \\cap A) \\cup (C \\cap A)[\/tex].<\/p>\n

\n

\n

Ilustra\u00e7\u00f5es<\/p>\n

\n

(1)<\/strong> Os pr\u00f3ximos diagramas ilustram a propriedade distributiva [tex] A \\cup (B \\cap C) = (A \\cup B) \\cap (A \\cup C)[\/tex].<\/p>\n

∎<\/strong><\/span> Para obtermos a respectiva representa\u00e7\u00e3o do conjunto [tex] A \\cup (B \\cap C)[\/tex] seguimos os seguintes passos:
\n▪<\/strong><\/span> Sombreamos o conjunto [tex]A[\/tex];
\n▪<\/strong><\/span> Sombreamos a interse\u00e7\u00e3o [tex]B \\cap C[\/tex];
\n▪<\/strong><\/span> Sombreamos a uni\u00e3o de [tex]A[\/tex] e a interse\u00e7\u00e3o [tex]B \\cap C[\/tex].
\n∎<\/strong><\/span> Para obtermos a respectiva representa\u00e7\u00e3o do conjunto [tex] (A \\cup B) \\cap (A \\cup C)[\/tex] seguimos os seguintes passos:
\n▪<\/strong><\/span> Sombreamos os conjuntos [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex] para ilustrar a uni\u00e3o [tex] A \\cup B[\/tex];
\n▪<\/strong><\/span> Sombreamos os conjuntos [tex]A[\/tex] e [tex]C[\/tex] para ilustrar a uni\u00e3o [tex] A \\cup C[\/tex];
\n▪<\/strong><\/span> Fizemos a sobreposi\u00e7\u00e3o das representa\u00e7\u00f5es das uni\u00f5es [tex]A \\cup B \\, [\/tex] e [tex]A \\cup C \\, [\/tex] e sombreamos a interse\u00e7\u00e3o.<\/p>\n

\"S36\"
\n<\/p>\n

Observem que os sombreamentos finais dos dois passo a passos ilustram a igualdade em quest\u00e3o.<\/p>\n

\n

\n
\n

\n

(2)<\/strong> Consideraremos [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex] subconjuntos de um conjunto [tex]S[\/tex]. Os pr\u00f3ximos diagramas ilustram a primeira lei de De Morgan [tex]\\overline{A} \\cup \\overline{B} = \\overline{A \\cap B}[\/tex].
\n∎<\/strong><\/span> Para a representa\u00e7\u00e3o do conjunto [tex] \\overline{A} \\cup \\overline{B}[\/tex] seguimos os seguintes passos:
\n▪<\/strong><\/span> Colorimos o complementar de [tex] A[\/tex], com rela\u00e7\u00e3o a [tex] S[\/tex];
\n▪<\/strong><\/span> Colorimos o complementar de [tex]B[\/tex], com rela\u00e7\u00e3o a [tex] S[\/tex];
\n▪<\/strong><\/span> Colorimos a uni\u00e3o de [tex]\\overline A[\/tex] e [tex]\\overline B[\/tex].
\n∎<\/strong><\/span> Para obtermos a representa\u00e7\u00e3o do conjunto [tex]\\overline{A \\cap B}[\/tex] seguimos os seguintes passos:
\n▪<\/strong><\/span> Colorimos a interse\u00e7\u00e3o dos conjuntos [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex];
\n▪<\/strong><\/span> Colorimos o complementar da interse\u00e7\u00e3o [tex] A \\cap B[\/tex].<\/p>\n

\"\"
\n<\/p>\n

Observem que as regi\u00f5es coloridas dos \u00faltimos diagramas dos dois passo a passos ilustram a igualdade em quest\u00e3o.<\/p>\n

\n

\n
\n

\n

(3)<\/strong> Consideraremos [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex] subconjuntos de um conjunto [tex]S[\/tex]. Os pr\u00f3ximos diagramas ilustram a segunda lei de De Morgan [tex]\\overline{A} \\cap \\overline{B} = \\overline{A \\cup B}[\/tex].
\n∎<\/strong><\/span> Para a representa\u00e7\u00e3o do conjunto [tex] \\overline{A} \\cap \\overline{B}[\/tex] seguimos os seguintes passos:
\n▪<\/strong><\/span> Colorimos o complementar de [tex] A[\/tex], com rela\u00e7\u00e3o a [tex] S[\/tex];
\n▪<\/strong><\/span> Colorimos o complementar de [tex]B[\/tex], com rela\u00e7\u00e3o a [tex] S[\/tex];
\n▪<\/strong><\/span> Colorimos a interse\u00e7\u00e3o de [tex]\\overline A[\/tex] e [tex]\\overline B[\/tex].
\n∎<\/strong><\/span> Para obtermos a representa\u00e7\u00e3o do conjunto [tex]\\overline{A \\cup B}[\/tex] seguimos os seguintes passos:
\n▪<\/strong><\/span> Colorimos a uni\u00e3o dos conjuntos [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex];
\n▪<\/strong><\/span> Colorimos o complementar da uni\u00e3o [tex] A \\cup B[\/tex].<\/p>\n

\"s40\"
\n\"s41\"<\/p>\n

Observem que as regi\u00f5es coloridas dos \u00faltimos diagramas dos dois passo a passos ilustram a igualdade em quest\u00e3o.\n<\/p><\/div>\n<\/div>\n

Para quem gosta de resolver exerc\u00edcios … <\/strong><\/p>\n

\n

V – Exerc\u00edcios<\/p>\n

\n

\n

1. Represente conjuntos pelos diagramas de Venn <\/em> e ilustre as seguintes propriedades: <\/p>\n

\n[tex]\\qquad (A \\cap \\overline{B})\\cup (A \\cap B)=A[\/tex]
\n[tex]\\qquad (A \\cap B) \\cup (\\overline{A} \\cap B)= B[\/tex]
\n[tex]\\qquad (A \\cap \\overline{B})\\cup (A \\cap B) \\cup (\\overline{A} \\cap B)=A \\cup B[\/tex]\n<\/p>\n

2. Quais das seguintes igualdades s\u00e3o verdadeiras?<\/p>\n

\n(a) [tex](A \\cup B) \\cap (A \\cup C) = A \\cup (B \\cap C)[\/tex]
\n(b) [tex]A \\cup B = (A \\cap \\overline{B}) \\cup B[\/tex]
\n(c) [tex]\\overline{A} \\cap B = A \\cup B[\/tex]
\n(d) [tex](\\overline{A \\cup B}) \\cap C = \\overline{A} \\cap \\overline{B} \\cap C[\/tex]
\n(e) [tex](A \\cap B) \\cap (\\overline{B} \\cap C) = \\emptyset[\/tex]
\n(f) [tex](A \\cap B) \\cup (A \\cap \\overline{B}) = A[\/tex]<\/p>\n<\/div>\n

\n\n\n
\"\"<\/td>\n\n

Observamos que os diagramas de Venn ilustram propriedades envolvendo conjuntos, mas n\u00e3o as demonstram. Demonstra\u00e7\u00f5es para esse tipo de propriedades exigem t\u00e9cnicas que n\u00e3o temos interesse em discutir nesta Sala.
\nEmbora n\u00e3o sirvam como demonstra\u00e7\u00f5es, diagramas de Venn s\u00e3o de grande ajuda!<\/strong><\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

\n

\n
\n

Equipe COM – OBMEP<\/strong><\/span><\/p>\n<\/div>\n

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Usando diagramas de Venn para ajudar a entender a linguagem de conjuntos Aqui, vamos utilizar diagramas de Venn para ilustrar e tentar entender algumas defini\u00e7\u00f5es que aparecem de vez em quando nos nossos estudos. I – Rela\u00e7\u00e3o de Pertin\u00eancia Os objetos que comp\u00f5em um conjunto s\u00e3o denominados “elementos” do conjunto em quest\u00e3o. A pertin\u00eancia (ato … <\/p>\n

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