A discussão de sistemas lineares refere-se à análise das soluções de um sistema de equações lineares, considerando diferentes casos com base nos coeficientes do sistema. Como já vimos, um sistema linear pode ser classificado em três situações principais:
1. Sistema Possível e Determinado (SPD): o sistema possui uma única solução.
- Isso acontece quando as equações são linearmente independentes (uma equação não pode ser obtida a partir das outras) e o número de equações é suficiente para determinar todas as incógnitas;
- A matriz dos coeficientes tem determinante diferente de zero (no caso de um sistema com o mesmo número de equações e incógnitas).
2. Sistema Possível e Indeterminado (SPI): o sistema tem infinitas soluções.
- Isso ocorre quando há dependência linear entre as equações (uma equação pode ser obtida a partir das outras);
- O sistema possui mais incógnitas do que equações independentes, gerando graus de liberdade.
3. Sistema Impossível (SI): o sistema não tem solução. Isso acontece quando há uma contradição, como uma equação do tipo [tex]0x+0y+0z=c[/tex], com [tex]c\neq 0[/tex];
Nessa sala, a discussão de um sistema linear será feita basicamente utilizando a Regra de Cramer e o Escalonamento.
Exemplo 1: Discuta o sistema linear [tex]
\begin{cases}
x&-&y&=&2 \\
2x&+&ay&=&b \\
\end{cases}.[/tex]
Solução: Vamos começar calculando o determinante da matriz dos coeficientes.
1 & -1 \\
2 & a
\end{vmatrix}=a+2.
[/tex]
O Teorema de Cramer garante que, se [tex]a+2\neq 0[/tex], ou seja, [tex]a\neq -2[/tex], o sistema terá solução única.
Por outro lado, precisamos analisar o que ocorrerá se [tex]D=0[/tex], ou seja, se [tex]a=-2[/tex]. Observe que o sistema fica assim:
\begin{cases}
x&-&y&=&2 \\
2x&-&2y&=&b \\
\end{cases}.[/tex]
Ao escalonarmos o sistema, obtemos:
\begin{cases}
x&-&y&=&2 \\
0x&+&0y&=&b-4 \\
\end{cases}.[/tex]
Isso nos leva a concluir que se:
- [tex]b=4,[/tex] o sistema será SPI
- [tex]b\neq 4,[/tex] o sistema será SI
Em suma, para
- [tex]a \neq -2,[/tex] o sistema será SPD
- [tex]a = -2 \text{ e } b = 4,[/tex] o sistema será SPI
- [tex]a = -2 \text{ e } b \neq 4,[/tex] o sistema será SI
Exemplo 2: Discuta e resolva o sistema linear [tex]
\begin{cases}
x&+&y&+&z&=&0 \\
x&-&y&+&mz&=&2 \\
mx&+&2y&+&z&=&-1
\end{cases}.[/tex]
Solução: Vamos começar calculando o determinante da matriz dos coeficientes:
1 & 1 & 1 \\
1 & -1 & m \\
m & 2 & 1
\end{vmatrix}=-1+m^2+2+m-2m-1=m^2-m=m(m-1).
[/tex]
O Teorema de Cramer garante que, se [tex]m(m-1)\neq 0[/tex], então [tex]m\neq 0[/tex] e [tex]m\neq 1[/tex], o sistema terá solução única. Para determiná-la, vamos calcular [tex]D_x, D_y[/tex] e [tex]D_z:[/tex]
- [tex]D_x=\begin{vmatrix}
0 & 1 & 1 \\
2 & -1 & m \\
-1 & 2 & 1
\end{vmatrix}=0-m+4-1-0-2=1-m.
[/tex] - [tex]D_y=\begin{vmatrix}
1 & 0 & 1 \\
1 & 2 & m \\
m & -1 & 1
\end{vmatrix}=2+0-1-2m+m-0=1-m.
[/tex] - [tex]D_z=\begin{vmatrix}
1 & 1 & 0 \\
1 & -1 & 2 \\
m & 2 & -1
\end{vmatrix}=1+2m+0-0+1-4=2m-2=2(m-1).
[/tex]
Assim, para [tex]m\neq 0[/tex] e [tex]m\neq 1[/tex], temos
e a solução do sistema será, portanto, [tex]\mathcal{S}=\left\{\left(-\dfrac{1}{m}, -\dfrac{1}{m}, \dfrac{2}{m}\right); m\neq 0 \;\;\text{e} \;\;m\neq 1\right\}.[/tex]
Por outro lado, precisamos analisar o que ocorrerá se [tex]D=0[/tex], ou seja, [tex]m=0[/tex] ou [tex]m=1[/tex].
Para [tex]m=0,[/tex] temos pelo menos um dos valores [tex]D_x, D_y[/tex] ou [tex]D_z[/tex] diferente de zero e então o sistema será SI.
Para [tex]m=1,[/tex] temos [tex]D_x=D_y=D_z=0[/tex] e então o sistema será SPI. Neste caso, substituindo [tex]m=1[/tex] no sistema do enunciado, obtemos:
x &+& y &+& z &=& 0 \\
x &-& y &+& z &=& 2 \\
x &+& 2y &+& z &=& -1
\end{cases} .
[/tex]
Subtraindo a segunda equação da primeira, ficamos com [tex]2y=-2\Rightarrow y=-1.[/tex] Substituindo essa informação no sistema acima, obtemos
x &+& z &=& 1 \\
x &+& z &=& 1 \\
x &+& z &=& 1
\end{cases}.
[/tex]
Como as três equações são iguais, consideramos apenas a primeira [tex]x + z = 1[/tex]. Sendo [tex]z[/tex] a variável livre, obtemos [tex]x=1-z[/tex] e portanto a solução é [tex]\mathcal{S}=\{(1-z, -1, z); z\in\mathbb{R}\}[/tex].
Resumindo, para
- [tex]m\neq 0[/tex] e [tex]m\neq 1[/tex], o sistema é SPD e sua solução é [tex]\mathcal{S}=\left\{\left(-\dfrac{1}{m}, -\dfrac{1}{m}, -\dfrac{2}{m}\right); m\neq 0 \;\;\text{e} \;\;m\neq 1\right\};[/tex]
- [tex]m=0[/tex], o sistema é SI;
- [tex]m=1[/tex], o sistema é SPI e sua solução é [tex]\mathcal{S}=\{(1-z, -1, z)\}[/tex].
Sistema Linear Homogêneo
Como visto na Sala Introdutória, um sistema linear homogêneo sempre admite pelo menos uma solução, a nula. Assim, se o sistema for SPD, apresentará apenas essa solução, mas se for SPI apresentará, além da solução nula, outras soluções não nulas, também chamadas soluções próprias.
Exemplo 1: O determinante do sistema [tex]\begin{cases}
x &+& y &+& z &=& 0 \\
2x &-& y &+& 3z &=& 0 \\
x &+& 4y &-& z &=& 0
\end{cases}
[/tex] é dado por [tex]D = 3\neq 0[/tex] e, portanto, é possível e determinado. Como é um sistema homogêneo, a única solução é a trivial.
Exemplo 2: O sistema [tex]\begin{cases}
x&+&y&-&3z&=&0 \\
&&5y&-&13z&=&0
\end{cases}
[/tex] é homogêneo e o número de equações é menor que o número de incógnitas, portanto, é um sistema possível e indeterminado. Sua solução é [tex]\mathcal{S} = \left\{\left(\dfrac{2z}{5}, \dfrac{13z}{5}, z\right); z\in \mathbb{R}\right\}.[/tex]
Logo mais apresentaremos outro resultado importante no estudo dos sistemas lineares, que permite determinar se um sistema é possível ou impossível. Antes de apresentarmos esse resultado, vejamos algumas definições!
Matriz Escalonada
Exemplos de matrizes escalonadas:
2 & 4 & 6 & 7 \\
0 & 1 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 3 & 2
\end{bmatrix}, \;\;\;\;
B=\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & 4 & 2 \\
0 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}, \;\;\;\;
C=\begin{bmatrix}
3 & 2 & -1 & 4 & 10 \\
0 & 0 & 6 & -3 & 5 \\
0 & 0 & 0 & 4 & -4 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}.[/tex]
Característica de uma Matriz
Antes, vamos ver um conceito que precede o conceito de característica de uma matriz.
- trocar duas linhas de posição,
- multiplicar uma linha por um escalar não nulo, e
- adicionar a uma linha um múltiplo escalar de outra linha.
Agora sim, podemos introduzir o conceito de característica de uma matriz.
Exemplos:
a) Para a matriz [tex]A=\begin{bmatrix}
2 & 4 & 6 & 7 \\
0 & 1 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 3 & 2
\end{bmatrix}[/tex], temos que [tex]\rho(A)=3.[/tex]
b) Para a matriz [tex]B=\begin{bmatrix}
-2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}[/tex], temos que [tex]\rho(B)=1.[/tex]
Agora que já compreendemos o conceito de característica de uma matriz, estamos prontos para apresentar o Teorema de Rouché–Capelli, o qual estabelece as condições para que um sistema linear seja possível ou impossível.
Teorema de Rouché-Capelli
a_{11}x_1 &+& a_{12}x_2 &+& \dots &+& a_{1n}x_n &=& b_1 \\
a_{21}x_1 &+& a_{22}x_2 &+& \dots &+& a_{2n}x_n &=& b_2 \\
& & & & \;\; \vdots & & & & \\
a_{m1}x_1 &+& a_{m2}x_2 &+& \dots &+& a_{mn}x_n &=& b_m
\end{cases}.[/tex]
Se [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] são, respectivamente, as matrizes incompleta e completa do sistema, então [tex]S[/tex] será possível se, e somente se, [tex]\rho(A)=\rho(B)[/tex].
Equipe COM – OBMEP