Sala 2: Problemas e Materiais de Apoio

Primeiramente, nos atentemos a descobrir a solução geral da equação [tex]5x + 11y = 39[/tex]. Dessa forma, utilizando o Algoritmo de Euclides de forma estendida, temos:
[tex]\qquad 11=5\times 2+1\ \Longrightarrow \ 1=11−5\times 2[/tex]
[tex]\qquad 5=1\times 5+0.[/tex]

Como [tex]mdc(5, 11) = 1[/tex], a equação apresenta solução. Assim, temos que:
[tex]\qquad 1 = 11 \times 1 + 5 \times (−2).[/tex]

Multiplicando a última igualdade por [tex]39[/tex], temos:
[tex]\qquad 5 \times (−78) + 11 \times 39 = 39.[/tex]

Sua solução geral é dada por:
[tex]\qquad x=−78−11t \ \ \text{e} \ \ y=39+5t.[/tex]

Assim, para que o time marque exatamente [tex]39[/tex] pontos, devemos ter
[tex]\qquad 39=x+y=(−78−11t) +(39+5t)=-39-6t[/tex]
[tex]\qquad 6t=-78[/tex]
[tex]\qquad t=-13.[/tex]

Porém, note que [tex]y=39+5\times(-13)\lt0[/tex], mas uma quantidade de cestas não pode ser negativa. Logo, é impossível um time fazer [tex]39[/tex] pontos em uma partida.

Como já sabemos que [tex]39[/tex] não é uma pontuação possível, vamos começar procurando os números maiores que [tex]39[/tex] que também não podem ser pontuações. Veja que:
[tex]\qquad 40 = 5 \times 8 + 11\times 0,[/tex]
[tex]\qquad 41 = 5 \times 6 + 11 \times 1,[/tex]
[tex]\qquad 42 = 5 \times 4 + 11 \times 2,[/tex]
[tex]\qquad 43 = 5 \times 2 + 11\times 3,[/tex]
[tex]\qquad 44 = 5 \times 0 + 11\times 4.[/tex]

Ao somarmos [tex]5[/tex] a cada uma dessas representações, obteremos representações para os próximos [tex]5[/tex] números. Repetindo esse argumento, poderemos escrever qualquer número maior que [tex]39[/tex] na forma [tex]5x + 11y[/tex] com [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] inteiros não negativos. Concluímos assim que [tex]m = 39[/tex].

Estruturando as informações enunciadas, temos a equação [tex]5x + 7y = 1[/tex]. Para saber se esta equação possui ou não solução, basta verificar que [tex]mdc(5, 7) = 1[/tex]. Logo, a equação apresenta solução, o que nos garante que é possível colocar exatamente um líquido no tambor cheio utilizando baldes de [tex]5[/tex] e [tex]7[/tex] litros. Para reforçar ainda mais esse raciocínio, é facilmente observável que [tex]5 \times 3 + 7 \times (−2) = 1[/tex] é uma solução particular possível. Assim, basta despejar o líquido com o balde de [tex]5[/tex] litros três vezes, e depois retirar do mesmo com o balde de [tex]7[/tex] litros duas vezes.

Colocando os dados da questão em forma de equação, temos [tex]7x + 11y = 100[/tex]. Dessa forma, utilizando o Algoritmo de Euclides de forma estendida, temos:
[tex]\qquad 11=7\times 1+4 \Longrightarrow 4=11−7,[/tex]
[tex]\qquad 7=4\times 1+3 \Longrightarrow 3=7−4,[/tex]
[tex]\qquad 4=3\times 1+1 \Longrightarrow 1=4−3,[/tex]
[tex]\qquad 3=1\times 3+0.[/tex]

Como [tex]mdc(7, 11) =1 [/tex], a equação possui solução. Temos que:
[tex]\qquad 1 = 4 − (7 − 4)[/tex]
[tex]\qquad 1=(11 − 7) − (7 − (11 − 7)) [/tex]
[tex]\qquad 1= 11 − 7 − 7 + 11 − 7 = 11\times 2+7\times (−3).[/tex]

Multiplicando a última igualdade por [tex]100[/tex], temos:
[tex]\qquad 7 \times (−300) + 11 \times 200 = 100.[/tex]

Logo, [tex]x_0 = −300[/tex] e [tex]y_0 = 200[/tex] são soluções particulares. Posto isso, encontraremos sua solução geral, dada por:
[tex]\qquad x=−300+11t \ \text{e} \ y=200−7t.[/tex]

Colocando os dados da questão em forma de equação, temos [tex]\dfrac{x}{13} +\dfrac{y}{17} = \dfrac{305}{221}[/tex].
Perceba que, ao multiplicar ambos os lados da equação por [tex]13 \times 17[/tex], temos:
[tex]\qquad 17x + 13y = 305.[/tex]

Logo, o problema resume-se a encontrar os menores valores de [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] tais que [tex]17x + 13y = 305[/tex]. Pelo Algoritmo de Euclides Estendido, temos:
[tex]\qquad 17=13\times 1+4 \Longrightarrow 4=17−13[/tex]
[tex]\qquad 13=4\times 3+1 \Longrightarrow 1=13−4\times 3[/tex]
[tex]\qquad 4=1\times 4+0.[/tex]

Como [tex]mdc(17, 13) = 1[/tex], a equação apresenta solução. Temos que:
[tex]\qquad 1 = 13 − 3 \times 4 [/tex]
[tex]\qquad 1= 13 − 3 \times (17 − 13) [/tex]
[tex]\qquad 1= 13 − 3 \times 17 + 3 \times 13=17\times (−3)+13\times 4.[/tex]

Multiplicando a última igualdade por [tex]305[/tex], temos:
[tex]\qquad 305 = 17 \times (−915) + 13 \times 1220.[/tex]

Descobrimos uma solução particular [tex]x_0 = −915[/tex] e [tex]y_0 = 1220[/tex]. Porém, nós queremos encontrar os menores valores positivos possíveis de [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex]. Isso pode ser feito a partir da solução geral da equação, dada por:
[tex]\qquad x=−915+13t \ \text{e} \ y=1220−17t.[/tex]

Que valores de [tex]t[/tex] que geram [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] simultaneamente positivos? Observe:
[tex]\qquad x=−915+13t\gt0 \ \text{e} \ y=1220−17t\gt0[/tex]
[tex]\qquad t\geq71 \ \text{e} \ t\leq 71,[/tex]
ou seja, o único valor possível é [tex]t=71[/tex].

Substituindo [tex]t = 71[/tex] na solução geral da equação, encontramos [tex]x_1 = 8[/tex] e [tex]y_1 = 13[/tex]. Assim, [tex]\dfrac{8}{13}[/tex] e [tex]\dfrac{13}{17}[/tex] são as menores frações positivas que cumprem o enunciado (na verdade, são as únicas).