Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Mostre que existem apenas dois números inteiros [tex]x[/tex] tais que
[tex]\qquad (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6) = 720.[/tex]
Extraído de Olimpíada de Matemática do Rio Grande do Sul – 2019.
Solução
Observe que [tex]x-1, x-2, x-3, x-4, x-5[/tex] e [tex]x-6[/tex] são todos números consecutivos (apresentados em ordem decrescente), e nenhum deles pode ser nulo (do contrário, o produto seria nulo). Logo, são todos positivos, ou todos negativos.
Repare que [tex]720 = 6! = 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1[/tex]. Essa é a única maneira de obtermos [tex]720[/tex] como produto de seis números consecutivos positivos, pois qualquer outra multiplicação resultaria em um número maior.
Além disso, podemos ter também [tex]720 = (-1)\cdot (-2)\cdot (-3)\cdot (-4)\cdot (-5)\cdot (-6)[/tex]. Essa é a única maneira de obtermos [tex]720[/tex] como produto de seis números consecutivos negativos, pois qualquer outra multiplicação resultaria em um número maior.
Logo, [tex]x-1=6\Rightarrow \boxed{x=7}[/tex] ou [tex]x-1=-1\Rightarrow \boxed{x=0}[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Participou da discussão o Clube Sociedade dos termos variados.