Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Redle fez um alvo de dardos para seu sobrinho, com três círculos concêntricos. O menor tem raio de 10 cm, o intermediário, raio de 20 cm, e o maior tem raio de 30 cm. Ele pintou o círculo central de vermelho; o intermediário de azul e, o círculo maior, de amarelo.
O sobrinho de Redle não treinou muito: seus dardos atingem o alvo aleatoriamente. Porém, ele nunca lança os dardos para fora do alvo. Se ele lançar 100 dardos, quantos você espera que caiam na região amarela?
Adaptado de NZMATHS.
Lembretes
(I) Este problema utiliza a chamada Probabilidade Geométrica. Na Probabilidade Geométrica, escolhido ao acaso um ponto de uma região [tex]R[/tex], a probabilidade [tex]p[/tex] de esse ponto pertencer a uma região [tex]R_1[/tex] contida em [tex]R[/tex] é definida por
[tex]\qquad \qquad \boxed{p=\dfrac{\text{área de }R_1}{\text{área de }R}}\,.[/tex]
Para aprender mais, visite a Sala Probabilidade Geométrica.
(II) Se um experimento aleatório se repetir um número muito grande de vezes, a frequência relativa de um evento se estabilizará próxima de algum número. Em espaços amostrais finitos e equiprováveis, o número ao qual a frequência relativa de um evento se estabilizará próxima é a chamada probabilidade clássica: a razão entre o número de elementos do evento e o número de elementos do espaço amostral.
Para aprender mais, consulte a Sala Probabilidade e eventos.
Solução
O problema diz que os dardos atingem o alvo aleatoriamente. Como o sobrinho de Redle lançará muitos dardos, a proporção dos dardos que caem na região amarela deve ser aproximadamente igual à probabilidade de um dardo cair na região amarela do alvo completo.
A área [tex]T[/tex] do alvo inteiro (um círculo com raio de [tex]30 \text{ cm}[/tex]) pode ser encontrada utilizando a fórmula da área de um círculo:
[tex]\qquad T=\pi r^2=30^2\pi=900\pi \text{ cm}^2.[/tex]
A área [tex]NA[/tex] da parte do alvo que não é amarela é um círculo com raio de [tex]20 \text{ cm}[/tex], cuja área é dada por
[tex]\qquad NA=\pi r^2=20^2\pi=400\pi \text{ cm}^2.[/tex]
Portanto, há uma probabilidade de
[tex]\qquad \dfrac{T-NA}{T}=\dfrac{500\pi}{900\pi}=\dfrac{5}{9}\approx 56\%[/tex]
de um dardo atingir a parte amarela do alvo.
Assim, esperamos que cerca de [tex]56[/tex] dardos atinjam a região amarela.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.