Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
Para quantos números inteiros [tex]x[/tex] tem-se que [tex]\dfrac{x+202300000000}{x+102300000000} \in \mathbb{Z}[/tex]?
Adaptado de OMU.
Solução
Repare que:
&= \dfrac{x+102300000000}{x+102300000000} + \dfrac{100000000000}{x+102300000000} \\\\
&= 1 + \dfrac{100000000000}{x+102300000000}\end{align}.[/tex].
Para que o resultado seja um número inteiro, basta que [tex]x+102300000000[/tex] seja um divisor de [tex]100000000000[/tex].
Temos [tex]100000000000=10^{11}=2^{11} \cdot 5^{11}[/tex]. Assim, o número [tex]2^{11} \cdot 5^{11}[/tex] possui [tex](11+1)\cdot(11+1)=12\cdot12=144[/tex] divisores positivos.
Dessa forma, [tex]100000000000[/tex] possui [tex]288[/tex] ([tex]144[/tex] positivos + [tex]144[/tex] negativos) divisores inteiros.
Assim, para cada divisor desse número, existe um número inteiro [tex]x[/tex] de forma que a divisão seja um resultado inteiro.
Logo, há [tex]288[/tex] valores possíveis para [tex]x[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.