.Desafio: Quantos números inteiros?

Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)


Para quantos números inteiros [tex]x[/tex] tem-se que [tex]\dfrac{x+202300000000}{x+102300000000} \in \mathbb{Z}[/tex]?

Adaptado de OMU.

Solução


Repare que:

[tex]\qquad \begin{align}\dfrac{x+202300000000}{x+102300000000} &= \dfrac{x+102300000000+100000000000}{x+102300000000}\\\\
&= \dfrac{x+102300000000}{x+102300000000} + \dfrac{100000000000}{x+102300000000} \\\\
&= 1 + \dfrac{100000000000}{x+102300000000}\end{align}.[/tex].

Para que o resultado seja um número inteiro, basta que [tex]x+102300000000[/tex] seja um divisor de [tex]100000000000[/tex].

Temos [tex]100000000000=10^{11}=2^{11} \cdot 5^{11}[/tex]. Assim, o número [tex]2^{11} \cdot 5^{11}[/tex] possui [tex](11+1)\cdot(11+1)=12\cdot12=144[/tex] divisores positivos.

Dessa forma, [tex]100000000000[/tex] possui [tex]288[/tex] ([tex]144[/tex] positivos + [tex]144[/tex] negativos) divisores inteiros.

Assim, para cada divisor desse número, existe um número inteiro [tex]x[/tex] de forma que a divisão seja um resultado inteiro.

Logo, há [tex]288[/tex] valores possíveis para [tex]x[/tex].


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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