.Sala de Estudos: O que é e para que serve o Plano Cartesiano?

O que é e para que serve o Plano Cartesiano?

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Todos os leitores desta sala já tiveram, muito provavelmente, algum contato com este maravilhoso objeto matemático que iremos apresentar um pouco mais detalhadamente a seguir. Estamos falando do plano cartesiano, uma importante ferramenta para o estudo de questões relacionadas à álgebra, geometria, funções, etc. A ideia que hoje associamos ao plano cartesiano resultou de um processo histórico no qual vários matemáticos contribuíram. O matemático e filósofo francês René Descartes teve papel decisivo nesse desenvolvimento, especialmente com a publicação de La Géométrie, em 1637, obra que estabeleceu uma relação profunda entre problemas geométricos e métodos algébricos. Vale observar que matemáticos como Nicole Oresme (1325-1382) e Pierre de Fermat (1601-1665) haviam feito uso de representações gráficas precursoras antes que Descartes publicasse os seus trabalhos, mas foi este último que publicou a ideia de forma sistematizada. O objetivo desta sala não é o de apresentar a Geometria Analítica de forma sistematizada, e sim o de descrever o plano cartesiano e desenvolver um mínimo necessário de ferramentas da Geometria Analítica para que possamos ilustrar alguns dos muitos cenários em que o uso do plano cartesiano se mostra poderosamente eficiente.

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Reta numérica ou eixo orientado

Vamos tomar como ponto de partida o conjunto [tex]\mathbb{R}[/tex] dos números reais. Um conceito muito útil quando temos a necessidade de medir quantidades que não podem ser negativas, por exemplo, comprimentos e áreas, é o de valor absoluto ou módulo de um número real [tex]a[/tex], simbolizado por [tex]|a|[/tex] e definido da seguinte forma:

[tex]|a|=\left\{ \begin{array}{ccc}
a & , &\ \text{se} \ a \geq 0 \\
-a & , & \ \text{se} \ a \lt 0
\end{array}\right.
[/tex]
Por exemplo, [tex]|5|=5[/tex] e [tex]|-3|=-(-3)=3[/tex]. Na prática, o valor absoluto mantém um número positivo ou nulo como ele é e, no caso de um número negativo, troca seu sinal. Assim, [tex]|a|[/tex] é sempre um número não negativo.

O conjunto [tex]\mathbb{R}[/tex] dos números reais pode ser representado em uma reta seguindo os seguintes passos:

(1) Considere uma reta [tex]r[/tex] e escolha um ponto qualquer [tex]O[/tex] dela para representar o número [tex]0[/tex];
(2) O ponto [tex]O[/tex] divide a reta em duas partes. Escolha uma delas para representar os números positivos e a outra para representar os números negativos;
(3) Escolha um ponto [tex]U[/tex] qualquer no lado correspondente aos números positivos para representar o número [tex]1[/tex]. A distância de [tex]U[/tex] a [tex]O[/tex] será tomada como unidade de medida na reta [tex]r[/tex];
(4) Dado um número real [tex]a[/tex], o ponto que o representa será determinado da seguinte maneira: se [tex]a\gt0[/tex], ele estará no lado positivo da reta; se [tex]a\lt0[/tex], estará no lado negativo; e, se [tex]a=0[/tex], ele coincidirá com a origem [tex]O[/tex]. Em todos os casos, a distância desse ponto até [tex]O[/tex] será igual a [tex]|a|[/tex].

Quando a reta [tex]r[/tex] estiver na horizontal, é um consenso escolher o lado direito para representar os números positivos. Quando estiver na vertical, adotaremos o lado de cima. Essa é apenas uma convenção de orientação da reta. O resultado da representação dos números reais em uma reta é conhecido como reta numérica ou eixo orientado.

A figura abaixo ilustra esse processo de representação dos números reais em uma reta. Veja, por exemplo, o número real [tex]-3[/tex] sendo representado pelo ponto [tex]P[/tex].

A distância, na reta numérica, entre dois pontos [tex]P[/tex] e [tex]Q[/tex], representando os números reais [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex], respectivamente, será simbolizada apenas por [tex]PQ[/tex] e é dada por

[tex]PQ=|b-a|[/tex].
Por exemplo, a distância entre os pontos que representam os números [tex]-3[/tex] e [tex]2[/tex] será [tex]|2-(-3)|=|2+3|=5[/tex]. É interessante observar que considerar os pontos em ordem invertida não altera a sua distância, pois o valor absoluto “corrige” o sinal. De fato, [tex]|-3-2|=|-5|=5[/tex].

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O plano cartesiano

O sistema de coordenadas cartesianas ou plano cartesiano é o nome dado a um plano em que foram adicionadas duas retas numéricas ou eixos, perpendiculares entre si, interceptando-se exatamente no ponto correspondente ao zero em cada uma delas. Este ponto é geralmente simbolizado por [tex]O[/tex] e conhecido como a origem do sistema de coordenadas. Um dos eixos será indicado por [tex]Ox[/tex] e chamado de eixo das abscissas, enquanto o outro será indicado por [tex]Oy[/tex] e chamado de eixo das ordenadas. Geralmente, [tex]Ox[/tex] é desenhado na horizontal e [tex]Oy[/tex] na vertical.

Com o sistema de coordenadas cartesianas, podemos associar a cada ponto do plano dois números reais conhecidos como suas coordenadas. Vejamos como isso é feito.

► Considere um ponto [tex]P[/tex] qualquer do plano. Vamos traçar por [tex]P[/tex] a reta [tex]m[/tex], paralela ao eixo [tex]Oy[/tex] e interceptando o eixo [tex]Ox[/tex] no ponto [tex]M[/tex], e a reta [tex]n[/tex], paralela ao eixo [tex]Ox[/tex] e interceptando o eixo [tex]Oy[/tex] no ponto [tex]N[/tex]. Aos pontos [tex]M[/tex] e [tex]N[/tex] das retas numéricas estão associados únicos números reais [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex], respectivamente.

Os números reais [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] são conhecidos, respectivamente, como abscissa do ponto [tex]P[/tex] e ordenada do ponto [tex]P[/tex]. Os números reais do par ordenado [tex](a,b)[/tex] são chamados de coordenadas do ponto [tex]P[/tex] e isto é, em muitos casos, simbolizado por [tex]P(a,b)[/tex].

Como em todo par ordenado, a ordem dos números [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] é relevante para as coordenadas de um ponto no plano cartesiano. Esse fato é ilustrado no exemplo abaixo. Aproveitamos esse momento para apresentar uma convenção relacionada à notação. Quando algum dos números de um par ordenado não for inteiro e contiver vírgula, usaremos a notação [tex](a;b)[/tex].

Os dois eixos coordenados dividem o plano em quatro regiões, chamadas quadrantes. A numeração é feita no sentido anti-horário, começando pela região em que as coordenadas [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] são positivas. Assim, no 1º quadrante temos [tex]x\gt0[/tex] e [tex]y\gt0[/tex]; no 2º quadrante, [tex]x\lt0[/tex] e [tex]y\gt0[/tex]; no 3º quadrante, [tex]x\lt0[/tex] e [tex]y\lt0[/tex]; e no 4º quadrante, [tex]x\gt0[/tex] e [tex]y\lt0[/tex]. Pontos que pertencem aos eixos não pertencem a nenhum quadrante.

Vimos que a cada ponto [tex]P[/tex] do plano cartesiano está associado um único par ordenado [tex](a,b)[/tex] de números reais, que são suas coordenadas. Por outro lado, veremos que cada par ordenado [tex](a,b)[/tex] de números reais fornece as coordenadas de um único ponto [tex]P[/tex] do plano cartesiano.

► Considere um par ordenado [tex](a,b)[/tex] qualquer. No eixo [tex]Ox[/tex] existe o ponto [tex]M[/tex], associado a [tex]a[/tex], e no eixo [tex]Oy[/tex] existe o ponto [tex]N[/tex], associado a [tex]b[/tex]. Vamos traçar por [tex]M[/tex] a reta [tex]m[/tex], paralela ao eixo [tex]Oy[/tex] e por [tex]N[/tex] a reta [tex]n[/tex], paralela ao eixo [tex]Ox[/tex]. O ponto [tex]P[/tex], única intersecção das retas [tex]m[/tex] e [tex]n[/tex], tem coordenadas [tex](a,b)[/tex].

Dessa forma, verificamos que existe uma correspondência entre os pontos do plano cartesiano e os pares ordenados de números reais, de tal forma que a cada ponto [tex]P[/tex] do plano está associado um único par ordenado [tex](a,b)[/tex] de números reais e a cada par ordenado [tex](a,b)[/tex] de números reais está associado um único ponto [tex]P[/tex] do plano. Esse tipo de correspondência é conhecida como uma bijeção ou correspondência biunívoca.

Exercício 1: Construa um plano cartesiano e represente os pontos com coordenadas [tex](0,0),[/tex] [tex](0,1),[/tex] [tex](0,2),[/tex] [tex](-2,2),[/tex] [tex](-2,3),[/tex] [tex](-2,4),[/tex] [tex](2,5),[/tex] [tex](-1,5;2)[/tex] e [tex](3,5;2,5)[/tex].

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Distância entre pontos no plano cartesiano

Passaremos agora a estudar um pouco de geometria usando o plano cartesiano. Nesta seção, iremos encontrar uma fórmula para calcular a distância entre dois pontos envolvendo apenas as suas coordenadas. O problema consiste em, dados dois pontos [tex]P_0[/tex] e [tex]P_1[/tex] com coordenadas [tex](x_0,y_0)[/tex] e [tex] (x_1,y_1)[/tex], respectivamente, calcular o comprimento do segmento [tex]\overline{P_0P_1}[/tex].

Temos três casos essenciais a considerar:

Exercício 2: Encontre as medidas dos lados do quadrilátero da figura.

Exercício 3: Encontre a distância entre os pontos com coordenadas a) [tex](-5,0)[/tex] e [tex](10,8)[/tex] b) [tex](-1,5;2)[/tex] e [tex](1,-4)[/tex]

Apenas com essa fórmula para a distância entre dois pontos em termos de suas coordenadas, já poderemos apreciar muitas das utilidades do plano cartesiano, como veremos na próxima seção.

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Aplicações do plano cartesiano

Nesta seção, apresentaremos uma série de aplicações do plano cartesiano. É muito importante observar que estamos contando apenas com a fórmula para a distância entre pontos e, ainda assim, poderemos fazer coisas bem interessantes. Esperamos que essas aplicações sirvam de motivação para que o leitor se interesse pela Geometria Analítica, onde outras noções geométricas como a distância entre ponto e reta, ângulo formado por retas, entre outras, serão apresentadas em termos de coordenadas e irão ampliar, em muito, os cenários em que o uso do plano cartesiano se mostra eficiente.

Conexão entre equações e figuras geométricas

Por meio do plano cartesiano, podemos fazer uma conexão maravilhosa entre figuras geométricas e equações, numa espécie de fusão entre Álgebra e Geometria, que foi a motivação de René Descartes para a introdução do plano cartesiano. Iniciemos essa aventura considerando equações com duas incógnitas, como por exemplo:

• [tex]y=-x^2+2x[/tex]
• [tex]y=-x[/tex]
• [tex]y=-2x+3[/tex]
• [tex]y^2+x^2=9[/tex]
• [tex]xy=4[/tex]
• [tex]y=3[/tex]
• [tex]x=-2[/tex]

Equações em que aparece apenas uma das incógnitas, como as duas últimas da lista acima, podem ser interpretadas como equações com duas incógnitas usando o artifício de considerar que a incógnita ausente está multiplicada por [tex]0[/tex]. Por exemplo, a equação [tex]x=-2[/tex] pode ser escrita como [tex]x+0y=-2[/tex].

Uma solução real de uma equação com duas incógnitas é um par ordenado de números reais [tex](x_0,y_0)[/tex] tal que as substituições [tex]x=x_0[/tex] e [tex]y=y_0[/tex] transformam a equação em uma sentença verdadeira. Por exemplo, considerando a equação

[tex]y=-x^2+2x.[/tex]
Os pares ordenados [tex](2,0)[/tex] e [tex](1,1)[/tex] são soluções desta, pois, fazendo as substituições [tex]x=2[/tex] e [tex]y=0[/tex] ou [tex]x=1[/tex] e [tex]y=1[/tex], obtemos as igualdades

[tex]0=-2^2+2\cdot 2\qquad [/tex] e [tex]\qquad 1=-1^2+2\cdot 1.[/tex]

Vamos considerar mais detalhadamente a equação

[tex]y=-x. [/tex]
Observe que as soluções reais dessa equação são todos os pares ordenados da forma [tex](a,-a)[/tex], onde [tex]a[/tex] é um número real. Qual é a figura geométrica obtida quando todos esses pares são marcados no plano cartesiano?

A figura abaixo mostra as soluções [tex](-3,3)[/tex], [tex](-2,2)[/tex], [tex](-1,1)[/tex], [tex](0,0)[/tex], [tex] (1,-1)[/tex], [tex](2,-2)[/tex] e [tex](3,-3)[/tex] da equação acima marcadas no plano cartesiano.

Veja como todos estes pontos se posicionam perfeitamente sobre uma reta.

O conjunto de todas as soluções da equação [tex]y=-x[/tex] irá coincidir com essa reta? Veremos mais tarde que a resposta é sim. Por hora, vamos explorar equações ainda mais simples.

Vimos que as coordenadas do conjunto de pontos de qualquer reta no plano são as soluções de uma das equações

[tex]y=b,\qquad x=a\qquad [/tex]ou [tex]\qquad y=ax+b[/tex]
e que o conjunto de todos os pontos com coordenadas que são soluções de uma destas equações forma uma reta. Entretanto, é preciso ter cuidado, pois existem equações que não se “parecem” às equações acima, mas suas soluções também formam uma reta. Vejamos alguns exemplos.

Aproveitamos esse exemplo para mencionar que qualquer equação da forma

[tex]Ax+By+C=0, \ \ \text{com} \ \ A\neq 0 \ \ \text{ou} \ \ B\neq 0,[/tex]
pode facilmente ser escrita em uma das três formas que estudamos, pois se [tex]B=0[/tex], basta isolar o [tex]x[/tex] e obteremos

[tex]x=-\frac{C}{A}[/tex].

Se [tex]B\neq 0[/tex], podemos isolar o [tex]y[/tex]:

[tex]y=-\frac{A}{B}x-\frac{C}{B}[/tex].

Vamos aproveitar o exemplo acima para definir um importante conceito relacionado às equações. Dizemos que duas equações de duas incógnitas são equivalentes nos números reais quando elas possuem exatamente as mesmas soluções. Por exemplo, as equações [tex]x^2y-2x^3+x^2+y-2x+1=0[/tex] e [tex]y=2x-1[/tex] são equivalentes. Dessa definição, segue imediatamente que, se duas equações são equivalentes, então suas soluções representam a mesma figura geométrica no plano cartesiano.

Em muitos casos, podemos fatorar uma equação e visualizar a representação no plano cartesiano como a união de mais de uma reta. Vejamos:

E quanto às outras figuras geométricas, quais são suas equações? Vamos considerar a circunferência. Seja [tex]c[/tex] uma circunferência centrada em um ponto [tex]C[/tex], com coordenadas [tex](a,b)[/tex], e com a medida do raio sendo um número positivo [tex]r[/tex].

Esta circunferência é o conjunto de todos os pontos [tex]P[/tex] que estão a uma distância [tex]r[/tex] do centro [tex]C[/tex]. Seja [tex]P[/tex] um ponto com coordenadas [tex](x,y)[/tex], pertencente à circunferência.

Neste caso, [tex]CP=r[/tex]. Usando a fórmula para a distância entre dois pontos, obtemos

[tex]\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}=r[/tex].
Elevando ambos os membros ao quadrado, encontramos
[tex](x-a)^2+(y-b)^2=r^2.[/tex]
Assim, as coordenadas de qualquer ponto da circunferência são uma solução desta equação. Por outro lado, seja [tex](x,y)[/tex] um par ordenado que é uma solução da equação acima. Considere o ponto [tex]P[/tex] do plano cartesiano associado a este par ordenado. A distância de [tex]P[/tex] ao ponto [tex]C[/tex] será [tex]r[/tex]. De fato,
[tex]CP=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}=\sqrt{r^2}=r[/tex].

Dessa maneira, [tex]P[/tex] é um ponto da circunferência. Em resumo, a circunferência centrada no ponto com coordenadas [tex](a,b)[/tex] e tendo raio igual a [tex]r[/tex] é a representação do conjunto solução da equação

[tex](x-a)^2+(y-b)^2=r^2.[/tex]

Muitas vezes uma equação não está, inicialmente, na forma

[tex](x-a)^2+(y-b)^2=r^2[/tex],
e serão necessárias algumas transformações para colocá-la nessa forma. Uma destas transformações é conhecida como a técnica de completar o quadrado. Ela se baseia na identidade
[tex]\left(x+\dfrac{b}{2}\right)^2=x^2+bx+\dfrac{b^2}{4}.[/tex]
Dessa identidade, obtemos esta outra identidade
[tex]\left(x+\dfrac{b}{2}\right)^2-\dfrac{b^2}{4}=x^2+bx,[/tex]
que será muito empregada para transformar expressões do tipo [tex]x^2+bx[/tex] em [tex]\left(x+\dfrac{b}{2}\right)^2-\dfrac{b^2}{4}[/tex]. Vejamos um exemplo:

Exercício 4: Faça a representação no plano cartesiano das soluções de cada uma das equações com duas incógnitas: a) [tex]y=3x-1[/tex] b) [tex]y=-x+3[/tex] c) [tex]3x+6y-6=0[/tex] d) [tex]x^2 +y^2-4=0[/tex] e) [tex]2x^2+2y^2-50=0[/tex] f) [tex](x-2)^2+(y+2)^2=16[/tex] g) [tex]x^2+2x+y^2-6y+9=0[/tex] h) [tex] 9x^2-4y^2=0[/tex] i) [tex]2x^2-x+xy-y-1=0[/tex] j) [tex]x^3-x^2y+y^2x-y^3-4x+4y=0[/tex]

Fórmula relacionando quantidades que estão variando

Consideremos a seguinte situação: existem duas quantidades [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] que estão variando simultaneamente e suspeitamos que existe uma fórmula matemática que as relaciona. Suponhamos que podemos obter valores para este par de quantidades, como ilustrado na tabela:

[tex]\begin{array}{c|c}
\hline
x & y \\
\hline
x_0 & y_0 \\
x_1 & y_1 \\
x_2 & y_2 \\
x_3 & y_3 \\
\vdots & \vdots \\
x_n & y_n \\
\hline
\end{array}
[/tex]
O problema consiste em obter uma fórmula relacionando essas quantidades que se ajuste perfeitamente aos dados obtidos, ou seja, uma fórmula tal que, quando fizermos as substituições [tex]x=x_i[/tex] e [tex]y=y_i[/tex] nessa fórmula, para cada [tex]i[/tex] variando de [tex]0[/tex] até [tex]n[/tex], obtemos sempre uma igualdade. Isso quer dizer que essa fórmula deve se ajustar perfeitamente aos valores obtidos para as quantidades.

O uso do plano cartesiano pode ser muito promissor para resolver esse problema seguindo a seguinte estratégia geral: representamos primeiramente no plano os pontos [tex]P_0, P_1, P_2, P_3 \dots, P_n[/tex] com coordenadas [tex](x_0,y_0), (x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3),\dots, (x_n,y_n)[/tex], respectivamente, como ilustrado na próxima figura

Essa representação pode sugerir a formação de uma figura geométrica que sabemos ser a representação do conjunto solução de uma equação em duas incógnitas conhecidas. Quanto mais informações tivermos, mais elementos teremos para testar essa hipótese, mas é importante lembrar que a representação gráfica, por si só, não constitui uma prova de que o modelo seja o único.

A equação cujas soluções representam essa figura pode ser a fórmula que estamos procurando. Este método é frequentemente empregado em áreas das ciências exatas como Física, Química, Biologia etc., e na própria Matemática, é claro. Vejamos alguns exemplos.

Exercício 5: Em cada um dos itens abaixo, existem duas quantidades [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] que estão variando simultaneamente e alguns pares de valores obtidos para elas estão dispostos em uma tabela. Encontre uma fórmula que relacione as quantidades [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] e se ajuste perfeitamente aos valores apresentados na tabela em cada um dos casos. a) [tex]\begin{array}{c|c} \hline x & y \\ \hline -2 & 2,8 \\ 0 & 2 \\ 1 & 1,6 \\ 1,5 & 1,4 \\ 2 & 1,2 \\ 4 & 0,4 \\ \hline \end{array} [/tex] b) [tex]\begin{array}{c|c} \hline x & y \\ \hline -2 & 0 \\ -1,68 & 1,76\\ -1 & 3\\ 0 & 4 \\ 1,24 & 4,68\\ 3 & 5\\ 4,76 & 4,68 \\ 6 & 4 \\ 7 & 3 \\ 7,68 & 1,76\\ 8 & 0 \\ \hline \end{array} [/tex]

Solução de problemas de álgebra com geometria

Existem muitos problemas da álgebra que podem ser trabalhosos para serem resolvidos apenas com as ferramentas da área, mas que, com o uso do plano cartesiano, se transformam em problemas geométricos simples. Vejamos dois exemplos bem ilustrativos.

Exercício 6: Determine o número de soluções do sistema de equações [tex]\left\{ \begin{array}{ccc} x^2+2x+y^2+2y+1 &= &0 \\ x^2-4x+y^2-2y-4 & = &0 \end{array} \right.[/tex].

Exercício 7: Qual é o valor real de [tex]x[/tex] que, quando substituído na expressão [tex]\sqrt{(x-2)^2+(x-4)^2}+\sqrt{(x-4)^2+(x-1)^2}[/tex], faz com que ela tenha o menor valor possível? E qual é esse valor mínimo?

Solução de problemas de geometria com álgebra

Temos agora o cenário inverso da seção anterior: problemas geométricos que podem ser traduzidos por meio do plano cartesiano em problemas de álgebra, com soluções mais simples do que as soluções geométricas correspondentes. Vejamos alguns exemplos desses problemas.

Exercício 8: Dados dois pontos [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] em um plano, com [tex]AB=4[/tex], encontre a figura geométrica formada por todos os pontos [tex]P[/tex] tais que [tex]PA=3PB.[/tex]

Exercício 9: Dados dois pontos [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] em um plano, com [tex]AB=6[/tex], encontre a figura geométrica formada por todos os pontos [tex]P[/tex] tais que [tex]2PA^2+PB^2=27.[/tex]

Esperamos que tenham gostado desta breve introdução ao plano cartesiano, ferramenta tão famosa quanto elegante que, fundindo Álgebra e Geometria, é a base da Geometria Analítica.