Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
O 4º termo de uma progressão aritmética é [tex]3[/tex] e o 7º termo é [tex]5[/tex]. Quanto vale a soma dos 10 primeiros termos desta progressão aritmética?
Solução 1
Denotando os termos desta progressão por [tex]a_1, a_2, …[/tex] e a sua razão por [tex]r[/tex], sabemos que a soma dos [tex]10[/tex] primeiros termos é dada por:
[tex]\qquad S_{10} = \dfrac{(a_1+a_{10}) \cdot 10}{2}.[/tex]
Resta determinar [tex]a_1+a_{10}. [/tex] Para isso, note que
[tex]\qquad a_1+a_{10} = a_1 + a_1+ 9r = a_1 + 3r + a_1 + 6r = a_4 + a_7 = 8.[/tex]
Portanto,
[tex]\qquad S_{10} = \dfrac{(a_1+a_{10}) \cdot 10}{2} = \dfrac{8 \cdot 10}{2} = 40.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
Com os dados do enunciado descobrimos que o 1º termo é 1, e o 10º termo é 7. Podemos afirmar isto porque do 4º termo ao 7º termo foram aumentadas 3 posições e 2 em valor. Assim podemos fazer o mesmo para descobrir o 10º termo, e o inverso para o 1º (diminuímos 3 posições e diminuímos em 2 o valor). Agora vamos utilizar o termo geral da PA para descobrirmos o valor do 2º termo:
[tex]\qquad a_1+(n-1)r=1+(2-1)r.[/tex]
Para descobrirmos o valor de [tex]r[/tex] podemos utilizar a regra de 3: Em 3 termos devo aumentar em 2 o valor, então devo aumentar [tex]x[/tex] valor em 1 termo, logo [tex]3x=2\cdot1[/tex], ou seja, [tex] x=\frac{2}{3}.[/tex]
Assim podemos dizer que [tex]r=\frac{2}{3}[/tex], então o 2º termo é
[tex]\qquad 1+(2-1)\frac{2}{3}=1+\frac{2}{3}=\frac{3}{3}+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}[/tex].
Se o 1º termo pode ser escrito como [tex]\frac{3}{3}[/tex] e o 2º como [tex]\frac{5}{3}[/tex], podemos dizer que foi aumentado em 2 o numerador, logo o 3º termo será [tex]\frac{7}{3}[/tex], e assim sucessivamente.
Tendo o valor de todos os termos, vamos apenas somar:
Portanto,
[tex]\qquad \frac{3}{3}+\frac{5}{3}+\frac{7}{3}+\frac{9}{3}+\frac{11}{3}+\frac{13}{3}+\frac{15}{3}+\frac{17}{3}+\frac{19}{3}+\frac{21}{3}=\frac{120}{3}=40[/tex].
Com isso podemos afirmar que a soma dos 10 primeiros termos desta progressão aritmética é 40.
Solução elaborada pelo COM Os Matemágicos, com contribuições dos moderadores do Blog.