.Problemão: Proporções de reais

Problema
(Indicado a partir do 7º ano do E. F.)

Sejam [tex]a, b[/tex] e [tex]c[/tex] números reais não nulos. Sabendo que as proporções [tex]\dfrac{a+b}{c}=\dfrac{b+c}{a}=\dfrac{a+c}{b}[/tex] são válidas, calcule os possíveis valores numéricos da expressão [tex]\dfrac{a+b}{c}[/tex].

Adaptado de IME.

Solução

Se [tex]\dfrac{p}{q}=\dfrac{m}{n}[/tex] e [tex]q+n \ne 0[/tex], então [tex]\dfrac{p}{q}=\dfrac{m}{n}=\dfrac{p+m}{q+n}[/tex].

Desta forma, pelo enunciado:

[tex]\dfrac {a+b}{c}=\dfrac{b+c}{a}=\dfrac{a+c}{b}=\dfrac{2a+2b+2c}{a+b+c}=2[/tex],
se [tex]a+b+c \ne 0[/tex].

No caso em que [tex]a+b+c=0[/tex], ou seja, [tex]c=-(a+b)[/tex], temos que:

[tex]\dfrac{a+b}{c}=\dfrac {a+b}{-(a+b)}=-1[/tex].

Portanto, a expressão do enunciado pode assumir dois valores:

[tex]\dfrac {a+b}{c}=2[/tex] ou [tex]\dfrac {a+b}{c}=-1[/tex].

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Participou da discussão o Clube Ordem Benewest.