Problema
(Indicado a partir da 1ª série do E. M.)
Considere a sequência de números reais [tex](1,4,5,8,9, \dots)[/tex]. A figura a seguir ilustra como podemos obter tal sequência. Dispõem-se todos os números naturais em duas fileiras, sendo que na primeira fileira colocam-se os números ímpares em ordem crescente e na segunda fileira colocam-se os números pares também em ordem crescente. A sequência é obtida tomando-se o primeiro número da primeira fileira, o segundo da segunda fileira, o terceiro da primeira fileira, e assim por diante, sempre alternando as fileiras.
Calcule a soma dos primeiros [tex]100[/tex] termos desta sequência.
Extraído de UFJF.
Solução
Note que a sequência do enunciado pode ser dividida em duas subsequências de acordo com as paridades dos números:
[tex](1, 5, 9, \dots)[/tex] é a sequência dos números ímpares e, [tex](4, 8, 12, \dots)[/tex], a dos números pares. A subsequência dos pares tem a seguinte lei de formação: [tex]p_{n}=4\cdot n[/tex], onde [tex]n[/tex] pode assumir o valor de qualquer número natural maior ou igual a um. O quinquagésimo ([tex]n=50[/tex]) termo desta subsequência é o centésimo termo da sequência inicial.
Logo, o centésimo termo será [tex]p_{50}=4 \cdot 50=200[/tex].
Analogamente ao que fizemos com os pares, a subsequência dos ímpares possui a seguinte lei de formação: [tex]i_n=4\cdot n -3[/tex], onde [tex]n[/tex] pode assumir o valor de qualquer número natural maior ou igual a um.
Portanto, o quinquagésimo ([tex]n=50[/tex]) termo desta subsequência é [tex]i_{50}=4 \cdot 50-3=197[/tex]. Esse valor é o nonagésimo nono ([tex]99^\circ[/tex]) da sequência inicial.
Como o enunciado pede a soma dos cem primeiros termos da sequência original, somaremos cinquenta termos de cada uma das subsequências.
Pela fórmula da soma dos termos de uma progressão aritmética, a soma dos cinquenta primeiros termos da subsequência dos números ímpares é:
Já a soma dos cinquenta primeiros termos da subsequência dos números pares é:
Portanto, a soma pedida vale: [tex]S=4950+5100=10\,050[/tex].
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