.Problemão: Ali Babão Ataca Novamente 2 – Segunda Temporada

Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)

Calcule o valor de [tex]x[/tex] de modo que:

[tex]\dfrac{(2x)!}{2^x \cdot x! \cdot 1\cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2x+1)}= \dfrac {1}{9}.[/tex]

Solução

Repare que [tex]2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \dots \cdot 2x = 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot 2\cdot x = 2^{x} \cdot x![/tex].

Então, a equação

[tex]\dfrac{(2x)!}{2^x \cdot x! \cdot 1\cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2x+1)}= \dfrac {1}{9}[/tex]

pode ser escrita da seguinte forma:

[tex]\dfrac{(2x)!}{(2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \dots \cdot 2x) \cdot 1\cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2x+1)}= \dfrac{(2x)!}{(2x+1)!}=\dfrac {1}{9}[/tex].

Assim,

[tex]\dfrac{(2x)!}{(2x+1)!}=\dfrac{\cancel{(2x)!}}{\cancel{(2x)!}(2x+1)}=\dfrac{1}{9}.[/tex]

Segue que [tex] 2x+1=9[/tex], ou seja, [tex]x=4[/tex].

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.