Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
No interior de um retângulo [tex]ABCD[/tex], constrói-se um triângulo retângulo [tex]ARB[/tex] no qual [tex]RB=4[/tex]. Temos [tex]AB\perp LS[/tex] e [tex]\overline{AD}=\overline{LB}[/tex]. Qual é a área do retângulo?
Solução
Inicialmente, tomemos [tex]LR=x[/tex], [tex]RS=y[/tex] e [tex]AL=z[/tex]. Então [tex]AD=LB=x+y[/tex].
No triângulo [tex]ARB[/tex], usaremos a seguinte relação métrica do triângulo retângulo:
- o quadrado da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa.
Obtemos [tex]x^2=z\cdot (x+y)[/tex], donde [tex] z=\dfrac{x^2}{x+y}[/tex].
Utilizando o Teorema de Pitágoras no triângulo [tex]BLR[/tex], temos [tex]4^2=x^2+(x+y)^2[/tex], donde [tex] 2x^2+2xy+y^2=16.[/tex]
Finalmente, a área do retângulo [tex]ABCD[/tex] é dada por:
[tex]\qquad (x+y)\cdot(z+x+y)=(x+y)\cdot \left(\dfrac{x^2}{x+y}+x+y\right)=x^2+(x+y)^2=2x^2+2xy+y^2=16.[/tex]
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