Nesta sala apresentaremos o Princípio da Indução Finita, também conhecido como Princípio de Indução Matemática, um método criado pelo matemático italiano Giuseppe Peano (1858-1932) para provar que certas propriedades são verdadeiras para sequências infinitas de números. Peano constatou que, através de 4 fatos básicos, toda a teoria sobre números naturais poderia ser desenvolvida. Os 4 fatos básicos citados por Peano hoje são conhecidos como axiomas de Peano, sendo o Princípio da Indução Finita o quarto deles.
Para começar nossa discussão sobre o assunto, consideremos o seguinte caso:
► Exemplo 1. Queremos saber se é verdade que [tex]1+2+ \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}[/tex] para todo [tex]n \in \mathbb{N}[/tex].
Podemos verificar esta igualdade para alguns números em particular, observe:
✓ Para [tex]n=1[/tex], é verdade que [tex]1 = \dfrac{1 \cdot 2}{2}[/tex];
✓ Para [tex]n = 2[/tex], é verdade que [tex]1+2=\dfrac{2\cdot 3}{2}[/tex];
✓ Para [tex]n = 3[/tex], é verdade que [tex]1+2+3 = \dfrac{3\cdot 4}{2}[/tex];
✓ Para [tex]n = 4[/tex], é verdade que [tex]1+2+3+4 = \dfrac{4\cdot 5}{2}[/tex].
A partir desse momento começamos a desconfiar que a propriedade [tex]1+2+ \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}[/tex] é verdadeira para todo [tex]n[/tex] natural. Mas, a simples verificação de que ela é verdadeira para [tex]n=1, 2, 3, 4[/tex] não garante que ela continua válida para [tex]n=100[/tex] ou [tex]n=1000[/tex], por exemplo. Precisamos desenvolver um raciocínio que nos permita concluir que esta propriedade é de fato verdadeira para qualquer [tex]n[/tex] natural.
Deixemos a Matemática de lado por um instante e pensemos em dominós. Imagine infinitos dominós enfileirados na posição “em pé” e vamos supor que duas coisas acontecem:
(a) o primeiro dominó cai;
(b) se um dominó cair, o dominó seguinte também cai.
O que podemos concluir sobre esses infinitos dominós? Todos cairão! Afinal de contas, por (a), o primeiro dominó cai; por (b), o segundo dominó também vai cair, pois o primeiro caiu. Ainda por (b), o terceiro dominó também vai cair, pois o segundo caiu, e assim por diante; o que nos permite concluir que todos os dominós cairão.
Essa é uma ideia intuitiva do Princípio da Indução Finita, formalizado por Peano, que apresentaremos a seguir:
(a) (Base da indução) [tex]P(1)[/tex] é verdadeira; e
(b) (Passo indutivo) Se [tex]P(k)[/tex] é verdadeira para um determinado [tex]k[/tex], então [tex]P(k+1)[/tex] é verdadeira;
são satisfeitas, então [tex]P(n)[/tex] é verdadeira para todo [tex]n[/tex] natural.
Seguindo a nossa analogia com os dominós, a condição (a) no Princípio da Indução Finita, conhecida como Base da Indução, faz o papel da condição “o primeiro dominó cai”. Já a condição (b), conhecida como Passo Indutivo, faz o papel da condição “Se um dominó cair, o seguinte também cai”. O método garante uma cadeia de implicações, já que a base da indução garante a validade para [tex]n=1[/tex], o passo indutivo garante que, se vale para [tex]n=1[/tex], vale para [tex]n=2[/tex]; se vale para [tex]n=2[/tex], vale para [tex]n=3[/tex]; e assim sucessivamente.
Agora podemos finalizar o Exemplo 1. Já verificamos que a propriedade [tex]1+2+ \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}[/tex] é válida para [tex]n=1[/tex]. Agora, supomos que [tex]P(n)[/tex] é verdadeira para [tex]n=k[/tex] e devemos mostrar que [tex]P(n)[/tex] é verdadeira para [tex]n=k+1[/tex]. Como estamos supondo que [tex]P(n)[/tex] é verdadeira para [tex]n=k[/tex], então
[tex]1+2+\cdots+k = \dfrac{k(k+1)}{2}.[/tex]
Assim,
[tex]1+2+\cdots + k + (k+1) = \dfrac{k(k+1)}{2} + (k+1) = \dfrac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} = \dfrac{(k+1)(k+2)}{2},[/tex]
ou seja,
[tex]1+2+\cdots + k + (k+1) = \dfrac{(k+1)(k+2)}{2},[/tex]
e portanto [tex]P(n)[/tex] é válida quando [tex]n=k+1[/tex]. Logo, pelo Princípio da Indução Finita, concluímos que vale [tex]1+2+ \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}[/tex] para todo [tex]n \in \mathbb{N}.[/tex]
► Exemplo 2. Provar que [tex]n \leq 2^n[/tex] para todo [tex]n[/tex] natural.
Consideremos [tex]P(n): n \leq 2^n[/tex]. Temos,
(a) (Base da indução) [tex]P(1)[/tex] é verdadeira, pois [tex]1 \leq 2^1[/tex].
(b) (Passo indutivo) Suponhamos que [tex]P(n)[/tex] é verdadeira para [tex]n=k[/tex], ou seja, [tex]k \leq 2^k[/tex]. Daí,
[tex]k+1 \leq 2^k+1 \leq 2^k + 2^k = 2^{k+1},[/tex]
isto é,
[tex]k+1 \leq 2^{k+1},[/tex]
e assim [tex]P(n)[/tex] é verdadeira para [tex]n=k+1[/tex]. Portanto, pelo Princípio da Indução Finita, concluímos que [tex]P(n)[/tex] é verdadeira para todo [tex]n[/tex] natural.
► Exemplo 3. Observe o que acontece quando somamos os primeiros números ímpares:
✓ [tex]1=1;[/tex]
✓ [tex]1 + 3 = 4;[/tex]
✓ [tex]1+3+5 = 9;[/tex]
✓ [tex]1+3+5+7=16;[/tex]
✓ [tex]1+3+5+7+9=25.[/tex]
Note que a soma obtida em cada caso é um número quadrado perfeito. Além disso, esse número quadrado perfeito é o quadrado da quantidade de números que estão sendo somados (ex. [tex]1+3+5+7 = 4^2[/tex]).
Assim, desconfiamos que a soma dos [tex]n[/tex] primeiros números ímpares seja [tex]n^2[/tex]. O nome disso é conjecturar, ato de inferir que algo é provável, com base em presunções, evidências incompletas, intuição.
Usaremos o Princípio da Indução Finita para mostrar que nossa conjectura está correta! Consideremos
[tex]P(n): 1+3+5+\cdots+ (2n-1)=n^2[/tex].
Observe que [tex]P(1)[/tex] é verdadeira, pois [tex]1 = 1^2[/tex]. Supondo que [tex]P(n)[/tex] é verdadeira para [tex]n=k[/tex], temos [tex]1+3+5+\cdots+ (2k-1)=k^2[/tex]. Daí, escrevendo [tex]2k+1=2(k+1)-1,[/tex] temos
[tex]1+3+5+\cdots+(2k-1) + (2(k+1)-1) = k^2+2k+1 = (k+1)^2[/tex]
e portanto, [tex]P(n)[/tex] é verdadeira para [tex]n=k+1[/tex]. Pelo Princípio da Indução Finita, concluímos que [tex]P(n)[/tex] é verdadeira para todo [tex]n[/tex] natural.
No entanto, não devemos nos deixar levar pela intuição sempre, como nos mostra o próximo exemplo.
► Exemplo 4. Verifique se [tex]n^2+n+41[/tex] é um número primo para todo [tex]n[/tex] natural.
Começaremos investigando para alguns valores de [tex]n[/tex]:
✓ Para [tex]n=1: 1^2+1+41=43[/tex] é primo;
✓ Para [tex]n=2: 2^2+2+41= 47[/tex] é primo;
✓ Para [tex]n=3: 3^2 + 3+41=53[/tex] é primo;
✓ Para [tex]n=4: 4^2+4+41=61[/tex] é primo;
✓ Para [tex]n=5: 5^2+5+41=71[/tex] é primo.
Podemos conjecturar (erroneamente) que a proposição é verdadeira, mas não é. Note que para [tex]n=41[/tex], a proposição é falsa, pois
[tex]41^2+41+41=41(41+1+1)=41\cdot 43,[/tex]
que não é um número primo.
O próximo exemplo nos mostra que não devemos subestimar o argumento de indução, pois isso pode nos levar a paradoxos.
► Exemplo 5. Em um mosaico romano, Bucéfalo, o cavalo de Alexandre, o Grande, é representado como um corcel cor de bronze. Nesse exemplo, vamos “provar” que isso é uma grande mentira. Inicialmente, “provaremos” que todos os cavalos têm mesma cor. De fato, considere a sentença aberta:
[tex]P(n)[/tex]: Em um conjunto com [tex]n[/tex] cavalos, todos têm a mesma cor.
Note que [tex]P(1)[/tex] é obviamente verdadeira. Agora, suponha o resultado válido para conjuntos contendo [tex]n[/tex] cavalos. Considere o conjunto
[tex]C = \{C_1, C_2, . . . , C_n, C_{n+1}\}[/tex]
com [tex]n+1[/tex] cavalos. Decompomos o conjunto [tex]C[/tex] em uma união de dois conjuntos:
[tex]C=C’ \cup C” = \{C_1, C_2, …, C_n\} \cup \{C_2, C_3, …, C_{n+1}\}[/tex],
cada um dos quais contém [tex]n[/tex] cavalos. Pela hipótese indutiva, segue-se que os cavalos em [tex]C'[/tex] têm mesma cor, ocorrendo o mesmo para os cavalos em [tex]C”[/tex]. Como o cavalo [tex]C_2[/tex] está em ambos os conjuntos, segue-se que os cavalos de [tex]C'[/tex] têm a mesma cor dos cavalos de [tex]C”[/tex], permitindo assim concluir que todos os cavalos em [tex]C[/tex] têm a mesma cor. Assim, a nossa “demonstração” por indução está terminada, provando que [tex]P(n)[/tex] é verdadeira para todo [tex]n[/tex] natural.
É sabido que Marengo, o famoso cavalo de guerra de Napoleão, era branco. Logo, Bucéfalo deveria ser branco. Chegamos a um paradoxo, que originou-se do raciocínio errôneo na aplicação do Princípio de Indução Finita. Mas onde está o erro?
Note que a implicação [tex]P(1)[/tex] verdadeira [tex]\Rightarrow P(2)[/tex] verdadeira, é falsa. De fato, assumindo que [tex]P(1)[/tex] é verdadeira, considere um conjunto com dois cavalos, [tex]C = \{C_1, C_2\}[/tex]. No subconjunto [tex]A=\{C_1\}[/tex] todos os cavalos (um cavalo) têm a mesma cor, enquanto que no subconjunto [tex]B=\{C_2\}[/tex] todos os cavalos (um cavalo) têm a mesma cor, mas não podemos concluir que os cavalos [tex]C_1[/tex] e [tex]C_2[/tex] têm a mesma cor, pois os subconjuntos [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] não têm interseção. Assim, a afirmação de que [tex]C_2[/tex] está em ambos os conjuntos só é válida para [tex]n>2[/tex].
A moral da história é que a indução exige que o passo indutivo seja válido para todo [tex]n[/tex] a partir da base.
► Exemplo 6. Vamos ver o que acontece quando somamos os [tex]n[/tex] primeiros números pares:
✓ [tex]2=2;[/tex]
✓ [tex]2+4=6;[/tex]
✓ [tex]2+4+6=12;[/tex]
✓ [tex]2+4+6+8=20;[/tex]
✓ [tex]2+4+6+8+10=30.[/tex]
Agora observe que
✓ [tex]2=2=1\cdot2;[/tex]
✓ [tex]2+4=6= 2\cdot3;[/tex]
✓ [tex]2+4+6=12=3\cdot 4;[/tex]
✓ [tex]2+4+6+8=20= 4\cdot 5;[/tex]
✓ [tex]2+4+6+8+10=30=5 \cdot 6.[/tex]
Podemos perceber que o resultado da soma dos [tex]n[/tex] primeiros números pares é igual a [tex]n(n+1)[/tex], como confirmamos acima para [tex]n= 1, 2, 3, 4, 5[/tex]. Provaremos que isso é verdade para todo [tex]n[/tex] natural.
Consideremos [tex]P(n): 2+4+6+ \cdots+2n = n(n+1)[/tex].
(a) (Base da indução) [tex]P(1)[/tex] é verdadeira, pois [tex]2 = 1\cdot 2[/tex].
(b) (Passo indutivo) Suponhamos que [tex]P(n)[/tex] é verdadeira para [tex]n=k[/tex], ou seja,
[tex]2+4+6+ \cdots+2k = k(k+1).[/tex]
Assim,
[tex]2+4+6+\cdots+2k+2(k+1) = k(k+1) + 2(k+1) = (k+1)(k+2),[/tex]
e portanto [tex]P(n)[/tex] é verdadeira para [tex]n=k+1[/tex]. Logo, pelo Princípio da Indução Finita, concluímos que o resultado da soma dos [tex]n[/tex] primeiros números pares é [tex]n(n+1)[/tex], para qualquer [tex]n[/tex] natural.
O Princípio da Indução Finita também é útil quando se quer demonstrar proposições que envolvem divisibilidade e geometria, conforme veremos nos próximos exemplos.
► Exemplo 7. Para qualquer [tex]n[/tex] natural, [tex]6[/tex] divide [tex]n(n+1)(n+2)[/tex], isto é, [tex]6[/tex] é um divisor de [tex]n(n+1)(n+2)[/tex].
Consideremos [tex]P(n)[/tex]: [tex]6[/tex] divide [tex]n(n+1)(n+2)[/tex].
(a) (Base da indução) [tex]P(1)[/tex] é verdadeira, pois [tex]6[/tex] divide [tex]1\cdot2\cdot3=6;[/tex]
(b) (Passo indutivo) Suponhamos que [tex]P(n)[/tex] é verdadeira para [tex]n=k[/tex], ou seja, [tex]6[/tex] divide [tex]k(k+1)(k+2).[/tex]
Note que,
[tex](k+1)(k+2)(k+3) = k(k+1)(k+2)+3(k+1)(k+2).[/tex]
Observe que já sabemos que [tex]6[/tex] divide [tex]k(k+1)(k+2)[/tex]. Agora, note que [tex]6[/tex] também divide [tex]3(k+1)(k+2)[/tex], uma vez que [tex]3(k+1)(k+2)[/tex] é múltiplo de [tex]3[/tex] e múltiplo de [tex]2[/tex] ao mesmo tempo (é múltiplo de [tex]2[/tex] porque para qualquer [tex]k[/tex], ou [tex]k+1[/tex] é par ou [tex]k+2[/tex] é par, e portanto [tex](k+1)(k+2)[/tex] é par).
Logo, [tex]6[/tex] divide [tex](k+1)(k+2)(k+3)[/tex], ou seja, [tex]P(n)[/tex] é verdadeira para [tex]n=k+1[/tex]. Pelo Princípio da Indução Finita, concluímos que [tex]6[/tex] divide [tex]n(n+1)(n+2)[/tex] para todo [tex]n[/tex] natural.
► Exemplo 8. A soma dos ângulos internos de um polígono convexo de [tex]n[/tex] lados ([tex]n \geq 3[/tex]) é [tex]S_n = (n-2)\cdot 180^{\circ}[/tex].
Consideremos [tex]P(n): S_n = (n-2)\cdot 180^{\circ}[/tex].
Aqui, como o objetivo é mostrar que esta propriedade é verdadeira para todo [tex]n \geq 3[/tex], a base da indução consiste em mostrar que [tex]P(3)[/tex] é verdadeira, e não [tex]P(1)[/tex].
(a) (Base da indução) [tex]P(3)[/tex] é verdadeira, pois a soma dos ângulos internos de um polígono de [tex]3[/tex] lados (triângulo) é [tex]180^{\circ} = (3-2)\cdot 180^{\circ}[/tex].
(b) (Passo indutivo) Suponhamos que [tex]P(n)[/tex] é verdadeira para [tex]n=k[/tex], ou seja, a soma dos ângulos internos de um polígono convexo de [tex]k[/tex] lados é [tex](k-2)\cdot 180^{\circ}[/tex].
Vamos denotar os vértices do polígono de [tex]k+1[/tex] lados por [tex]V_1, V_2, … , V_k, V_{k+1}[/tex]. Podemos decompor este polígono como a união do polígono de [tex]k[/tex] lados com vértices [tex]V_1, V_2, …, V_k[/tex] e do triângulo [tex]V_1 V_k V_{k+1}[/tex]. Dessa forma, a soma dos ângulos internos do polígono de [tex]k+1[/tex] lados é a soma dos ângulos internos do polígono de vértices [tex]V_1, V_2, …, V_k[/tex] mais a soma dos ângulos internos do triângulo [tex]V_1 V_k V_{k+1}[/tex], isto é,
[tex]S_{k+1} = (k-2)\cdot 180^{\circ} + 180^{\circ} = (k-1)\cdot 180^{\circ}[/tex],
e portanto, [tex]P(n)[/tex] é verdadeira para [tex]n=k+1[/tex]. Pelo Princípio da Indução Finita, concluímos que [tex]S_n = (n-2)\cdot 180^{\circ}[/tex] para todo [tex]n \geq 3[/tex].
Em resumo, o Princípio da Indução Finita é uma ferramenta importante da Matemática, que permite demonstrar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais. A ideia central é mostrar que, se uma proposição vale para um primeiro caso e continua válida sempre que passamos de um número para o seguinte, então ela será verdadeira para todos os casos.
Dessa forma, a indução cria uma ligação entre um número finito de verificações e uma quantidade infinita de resultados, sendo muito utilizada em diferentes contextos da Matemática e também em situações ligadas à programação e à Ciência da Computação. Por isso, mais do que uma técnica de demonstração, a indução é um conceito fundamental para a compreensão do raciocínio matemático.
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Que tal verificar se aprendemos? Abaixo estão alguns exercícios sobre o Princípio da Indução Finita. Divirtam-se! |
(1) Prove, por indução, que [tex]1^2+2^2+\cdots+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/tex] para todo [tex]n \in \mathbb{N}[/tex].
(2) Prove, por indução, que [tex]1^2+3^2+5^2+ \cdots+ (2n-1)^2 = \dfrac{n(2n-1)(2n+1)}{3}[/tex] para todo [tex]n \in \mathbb{N}[/tex].
(3) Encontre uma fórmula para [tex]\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+ \cdots + \dfrac{1}{2^n},[/tex] examinando a soma para alguns valores pequenos de [tex]n \in \mathbb{N},[/tex] e prove-a usando o Princípio de Indução Finita.
(4) Prove, por indução, que [tex]3[/tex] divide [tex]2^n-1[/tex] para todo número natural [tex]n[/tex] par.
(5) Uma das mais célebres desigualdades em Matemática é a desigualdade de Bernoulli: se [tex]x > -1[/tex], então [tex](1+x)^n \geq 1+nx[/tex] para todo [tex]n[/tex] natural. Prove esta desigualdade por indução.
(6) Mostre, usando indução, que [tex]10^n – 1[/tex] é divisível por [tex]9[/tex], para todo [tex]n \in \mathbb{N}[/tex].
(7) Usando indução, prove que se [tex]q \neq 1[/tex], então [tex]1+q+q^2+\cdots+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}[/tex] para todo [tex]n \in \mathbb{N}[/tex].
(8) Considere a seguinte sequência [tex](a_n)[/tex] de números reais: [tex]a_1 = \sqrt{2}[/tex] e [tex]a_{n+1} = \sqrt{2+a_n}[/tex] para [tex]n \geq 1[/tex]. Prove que [tex]a_n < 2[/tex] para todo [tex]n \in \mathbb{N}[/tex]. (9) Mostre, por indução, que o número de diagonais de um polígono convexo de [tex]n[/tex] lados ([tex]n \geq 3[/tex]) é [tex]d_n = \dfrac{n(n-3)}{2}[/tex].
(10) Para cada [tex]n \in \mathbb{N}[/tex], seja [tex]A_n = \{1, 2, …, n\}[/tex]. Mostre, usando o Princípio de Indução Finita, que o número de subconjuntos de [tex]A_n[/tex] é [tex]2^n[/tex].
(11) Demonstre, por indução, que qualquer número natural [tex]n \geq 8[/tex] pode ser escrito como soma de [tex]3[/tex]’s e [tex]5[/tex]’s. Exemplos: [tex]10=5+5[/tex], [tex]11=3+3+5[/tex], [tex]12=3+3+3+3[/tex], [tex]13=3+5+5[/tex].
Referências
[1] SILVA, Reginaldo L.; ALMEIDA, Roger L. S. O poderoso princípio da indução matemática. Revista Eletrônica Paulista de Matemática, São Paulo, v. 22, n. 1, jul. 2022.
[2] GONÇALVES, Adilson. Introdução à Álgebra. 6ª ed. IMPA, 2017.
[3] Indução Matemática – Aula 1. Canal do Programa de Iniciação Científica da OBMEP. Acesso em fev. 2026.
[4] Indução Matemática, Abramo Hefez. Acesso em fev. 2026.
Equipe COM – OBMEP
Fevereiro de 2026.