Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Sabendo que o fatorial de um número inteiro positivo [tex]n[/tex], representado pelo símbolo [tex]n!,[/tex] é definido como [tex]n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \, … \, \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1[/tex], determine quantos zeros o número [tex]150![/tex] possui.
Solução
A quantidade de zeros que um número inteiro possui está diretamente ligada a quantas vezes o número [tex]10[/tex] aparece em sua fatoração. Por exemplo, [tex]30[/tex] possui um zero, pois [tex]30 = 3 \cdot 10[/tex]; da mesma forma [tex]1500[/tex] possui [tex]2[/tex] zeros, pois [tex]1500 = 15 \cdot 10 \cdot 10[/tex].
Como [tex]10 = 2 \cdot 5[/tex], cada par de fatores [tex]2[/tex] e [tex]5[/tex] na fatoração de [tex]150![/tex] contribui com um zero no final do número [tex]150![/tex]. Assim, basta determinar quantas vezes o [tex]2[/tex] e o [tex]5[/tex] aparecem nesta fatoração. No entanto, como o [tex]2[/tex] aparece mais vezes que o [tex]5[/tex], é suficiente determinar quantas vezes o [tex]5[/tex] aparece.
O fator [tex]5[/tex] aparece quando se tem um número múltiplo de [tex]5[/tex] na decomposição de [tex]150![/tex]; são [tex]\frac{150}{5} = 30[/tex] múltiplos de [tex]5[/tex] entre [tex]1[/tex] e [tex]150[/tex]. Cada um deles contribui com um fator [tex]5[/tex], sendo que [tex]25, 50, 75, 100[/tex] e [tex]150[/tex] contribuem com dois fatores [tex]5[/tex], e [tex]125[/tex] contribui com três fatores [tex]5[/tex]. Assim, temos ao total [tex]30 + 5 + 2 = 37[/tex] fatores [tex]5[/tex] em [tex]150![/tex], o que significa que [tex]150![/tex] possui [tex]37[/tex] zeros.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.