Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
O setor de recursos humanos de uma empresa contratou seis novos estagiários (quatro mulheres e dois homens): Aline, Bruno, Catarina, Daniela, Érica e Fernando. Esses estagiários deverão ser alocados em três áreas distintas: marketing, finanças e projetos. Segundo instruções da direção, essa alocação deverá obedecer aos seguintes parâmetros:
I) Não haverá dois homens atuando na mesma área; e
II) Cada área receberá duas pessoas.
Calcule o número de maneiras distintas que essa alocação poderá ser feita.
Solução 1
Para selecionar dois estágiaros para área de marketing há:
[tex]C_{6}^{2}=\dfrac{6!}{4! \cdot 2!}=15[/tex] modos.
Para selecionar dois para área de finanças há:
[tex]C_{4}^{2}=\dfrac{4!}{2! \cdot 2!}=6[/tex] modos.
Para selecionar dois para área de projetos há:
[tex]C_{2}^{2}=\dfrac{2!}{2! \cdot 0!}=1[/tex] modo.
Assim, pelo princípio multiplicativo, há [tex]15 \cdot 6 \cdot 1 = 90[/tex] maneiras de distribuir dois estagiários em cada área.
Vamos, agora, calcular em quantas dessas soluções teremos os dois homens na mesma área.
Se Bruno e Fernando estiverem na área do marketing, distribuindo as estagiárias, concluímos que [tex]C_{4}^{2} \cdot C_{2}^{2}=6 \cdot 1 = 6[/tex] soluções não respeitam o parâmetro I. De modo análogo, temos [tex]6[/tex] soluções quando eles estão em finanças e mais [tex]6[/tex] soluções caso estejam na área de projetos.
Portanto, há [tex]90-6-6-6=72[/tex] maneiras distintas de alocar esses estagiários satisfazendo ambos os parâmetros.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
Primeiramente, veremos de quantas formas diferentes essa distribuição pode ser feita colocando os homens em quaisquer áreas distintas:
Marketing: 4·2 (qualquer menina e qualquer menino)
Finanças: 3·1 (qualquer menina e qualquer menino que já não estejam no marketing)
Projetos: 1·1 (as duas meninas restantes, observamos aqui que não poderia ser 2.1, sendo o 2 qualquer menina restante e depois 1, pois assim estaríamos contando o mesmo caso duas vezes, Daniela e Érica e Érica e Daniela sendo duas equipes distintas, por exemplo)
Sendo assim, pelo PFC, teremos 4·2·3·1·1·1=24 soluções. Agora, basta determinar de quantas formas diferentes podemos distribuir os garotos de modo que eles não fiquem no mesmo setor e multiplicar por 24.
Bruno pode ficar em qualquer um dos 3 setores e Fernando em qualquer um dos 2 restantes, logo temos 3·2=6 modos de distribuí-los.
Portanto, teríamos 6·24=144 maneiras. Porém, anteriormente os casos onde eles se invertem, ou seja, FB ou BF, já foram contados, então é necessário dividir por 2, 144/2=72.
Logo, essa alocação pode ser feita de 72 maneiras distintas.
Solução elaborada pelo COM Villa-Lobos .