.Sala para leitura: Um pouco sobre Modelagem Matemática

Nesse contexto, a Modelagem Matemática é um processo que envolve a representação de situações do mundo real por meio de conceitos matemáticos, com o objetivo de analisar, compreender e prever o comportamento dessas situações. De um lado, têm-se os dados e as intuições fornecidos pelo problema real; de outro, constrói-se um modelo — uma tentativa de descrever a realidade por meio de leis matemáticas. Esse modelo, após ser analisado e estudado com ferramentas matemáticas e computacionais, precisa ser confrontado com dados reais para sua validação. Assim, na modelagem, teoria matemática e realidade se retroalimentam de forma contínua.

Modelos Matemáticos: Exemplos Iniciais

Talvez você não perceba, mas modelos matemáticos estão sempre presentes em nosso cotidiano. Vamos ver alguns exemplos?

O modelo é preciso? Bem, em nosso exemplo, não pensamos na espessura do papelão, na exatidão dos ângulos e das medidas e em outras coisas do “mundo real”. Mas, o modelo é bom o suficiente para ser útil! Por exemplo, o cálculo do volume de reservatórios de água, como cisternas ou caixas d’água, é essencial para garantir o abastecimento adequado e evitar desperdícios. Outro exemplo importante é o de calcular a capacidade de armazenamento, ainda que aproximada, em meios de transporte ou armazéns.

Havendo maior necessidade de precisão, detalhes como a espessura do papelão e a exatidão das medidas angulares serão importantes. Já dizia o estatístico britânico George Box que…

Vamos continuar com alguns exemplos.

Modelagem por Funções do Primeiro Grau

Você reparou que as duas situações foram modeladas por funções do tipo [tex]f(x)=ax+b[/tex]? No primeiro exemplo, a função [tex]f[/tex] determina o valor da conta a ser paga, sendo
[tex]\qquad x=\text{Excedente, em m}^3,\quad a=8 \text{ (taxa por cada m}^3\text{ excedente)},\quad b=40 \text{ (taxa fixa)}.[/tex]

Já no segundo exemplo, a função [tex]f[/tex] determina o salário mensal do vendedor, sendo
[tex]\qquad x=\text{Total das vendas, em reais},\quad a=0,1 \text{ (porcentagem de lucro)},\quad b=1800 \text{ (salário de segurança)}.[/tex]

Como vocês já devem conhecer, este tipo de função é chamado de Função Afim ou Função do Primeiro Grau. Embora seja um tipo simples de função, várias situações reais podem ser modeladas a partir de funções afins!

Modelagem por Funções do Segundo Grau

Exemplo 4 Um empresário comprou um terreno em formato quadrado de lado medindo [tex]40\text{ m}[/tex], para construir um armazém também em formato quadrado, de lado medindo [tex]32\text{ m}[/tex], como na primeira figura. Seu engenheiro propôs um armazém em formato de T, como na segunda figura, mantendo área do primeiro projeto. Determine a medida [tex]x[/tex].

A função [tex]A[/tex] que fornece a área do armazém em T é dada por
[tex]\qquad A(x)=x\times 40+ x\times(40-x)=-x^2+80x.[/tex]

Queremos encontrar o valor de [tex]x[/tex] para o qual
[tex]\qquad A(x)=32^2=1024[/tex], ou seja,
[tex]\qquad -x^2+80x=1024[/tex], o que pode ser reescrito como
[tex]\qquad x^2-80x+1024=0.[/tex]

Solucionamos essa equação do segundo grau:
[tex]\qquad x=\dfrac{-(-80)\pm\sqrt{(-80)^2-4\times 1\times 1024}}{2\times 1},[/tex]
[tex]\qquad x=\dfrac{80\pm\sqrt{6400-4096}}{2},[/tex]
[tex]\qquad x=\dfrac{80\pm\sqrt{2304}}{2},[/tex]
[tex]\qquad x=\dfrac{80\pm48}{2},[/tex]
[tex]\qquad x_1=64, \quad x_2=16.[/tex]

Como, pelas dimensões do terreno, devemos ter [tex]x\lt40[/tex], obtemos a solução [tex]x=16\text{ m}[/tex].

Na Sala de Atividades Voltando de um passeio pelo mundo da Equação Quadrática: Ideias e aplicações, as equações quadráticas são utilizadas para modelar diversos tipos de situações reais, tais como problemas de movimento, custo e receita, e problemas relativos ao estudo do espaço (atividades preparadas especialmente para futuros astronautas). Dêem uma passadinha por lá, confiram a solução do Exemplo 5 e muitos outros problemas interessantes!

Modelagem por Funções Exponenciais

Um exemplo um pouco mais sofisticado de modelo matemático é o do crescimento populacional de bactérias.
Vamos analisar a seguinte questão:

O modelo apresentado no Exemplo 6 é útil? Sem dúvida! Mas será que ele é preciso? Talvez não tanto. Afinal, as bactérias não morrem? Elas se reproduzem de forma contínua ou em intervalos regulares? Será que ao formularmos nosso modelo deixamos de lado outras informações relevantes sobre o processo…?

Outro conceito fundamental nas ciências naturais, especialmente em Física e Química, é o de meia-vida. Em contextos farmacológicos, a meia-vida de um medicamento corresponde ao intervalo de tempo necessário para que a quantidade dessa substância no organismo seja reduzida à metade do valor inicial. Essa diminuição ocorre, principalmente, em decorrência dos processos de eliminação realizados pelo corpo e das reações químicas que as substâncias sofrem ao interagir com outras moléculas.

A meia-vida é um parâmetro essencial, por exemplo, para:

• determinar os intervalos entre as doses de um remédio,
• definir a dosagem correta,
• entender por quanto tempo o medicamento permanece ativo no corpo.

Vamos modelar a quantidade de determinado medicamento presente no organismo de uma pessoa ao longo do tempo, usando o conceito de meia-vida.

O modelo do Exemplo 7 é preciso? Deve-se observar que esse parâmetro apresenta variações dependendo das características do indivíduo. Em geral, ele é fornecido para uma pessoa adulta com saúde regular. Além disso, nesse modelo, a quantidade da medicação no organismo vai se tornando cada vez menor, porém nunca zera completamente – o que não ocorre na vida real. Mas, com toda a certeza, o modelo é muito, muito útil!

Observe que a modelagem dessas duas últimas situações utilizam funções do tipo exponencial, ou seja, funções da forma [tex]f(x)=k \cdot a^x[/tex]. Enquanto as funções afins são úteis em contextos de crescimento ou decrescimento constante, como o cálculo de custos, conversão de unidades de medida e análise de movimentos uniformes, funções exponenciais nos ajudam a entender outros diversos fenômenos, como aqueles de crescimento ou decaimento acelerado.

Modelagem por Funções Logarítmicas

Confiram a solução desta questão e mais problemas de modelagem de terremotos com funções logarítmicas na Sala de Estudo: Logaritmos X Terremotos!

Modelagem por Funções Trigonométricas

Qualquer movimento que se repete em um período de tempo fixo é considerado movimento periódico e pode ser modelado por funções senoidais ou cossenoidais. A amplitude de uma função senoidal ou cossenoidal é a distância da linha média ao valor máximo, ou da linha média ao valor mínimo. A linha média é o valor médio. Funções senoidais oscilam acima e abaixo da linha média, são periódicas e repetem valores em ciclos definidos. Observe pelos gráficos das funções seno e cosseno que o período de ambas as funções é [tex]2\pi[/tex], e a amplitude é [tex]1[/tex]:

Assim,
[tex]\qquad \text{sen}(x\pm 2\pi k)=\text{sen}(x),[/tex]
[tex]\qquad \text{cos}(x\pm 2\pi k)=\text{cos}(x),[/tex]
para qualquer número inteiro [tex]k[/tex].

As formas gerais de uma função senoidal ou cossenoidal são dadas por
[tex]\qquad f(x) = A\text{sen}(Bx−C) + D[/tex]
ou
[tex]\qquad f(x) = A\text{cos}(Bx−C) + D,[/tex]
onde [tex]|A|[/tex] é a amplitude, [tex]B[/tex] está relacionado ao período, de modo que o período é [tex]2\pi/|B|[/tex], [tex]C[/tex] é o deslocamento horizontal e [tex]D[/tex] representa o deslocamento vertical em relação ao gráfico original. Observe que uma função cossenoidal pode ser vista como uma função senoidal deslocada horizontalmente, e vice-versa.

Agora é sua vez de tentar construir um modelo!

Esta atividade tem como objetivo a construção de um modelo simples de “propagação”. A ideia de propagação se relaciona com diversos fenômenos, como o estudo das epidemias (tema das próximas atividades). Nesta primeira atividade, modelamos uma situação de propagação de fake news (notícias falsas).

As fake news são um grave problema da atualidade. Você já recebeu uma notícia falsa? Como reagiu? Discuta com seus colegas.

Imagine uma situação na qual uma notícia falsa é criada por uma pessoa ou grupo antiético e o seguinte desafio é proposto: no primeiro dia, a notícia é enviada para três pessoas, cada uma residente em uma cidade diferente. No dia seguinte, cada uma dessas três pessoas deve repassar a mesma notícia para mais três pessoas, residentes em cidades nas quais a notícia ainda não chegou.

A tarefa de continuar espalhando a notícia passa para as novas pessoas notificadas, que repetem o processo no dia seguinte. Esse ciclo continua, dia após dia, com cada indivíduo repassando a notícia uma única vez a outras três pessoas, sempre em cidades diferentes.

Vamos criar um modelo simples para essa situação.

Analisando os casos iniciais

A análise dos casos iniciais pode fornecer importantas insights sobre o modelo que queremos construir. Vamos encontrar a quantidade de pessoas notificadas até o Dia 4. Como temos exatamente uma pessoa em cada município, essa também será a quantidade de municípios alcançados pela notícia:

• Considere o dia da criação da notícia como o Dia 0, no qual apenas a pessoa ou grupo de origem a conhece.
• No Dia 1, a notícia é enviada para outras três pessoas, ou seja, fica em posse de [tex]1+1\times 3=4[/tex] pessoas.
• No Dia 2, cada uma das três pessoas notificadas no Dia 1 envia a notícia para outras três pessoas: [tex]1+1\times 3+1\times 3\times 3=13[/tex] pessoas já conhecem a notícia.
• No Dia 3, cada uma das nove pessoas notificadas no Dia 2 envia a notícia para outras três pessoas. Agora, [tex]1+1\times 3+1\times 3\times 3+1\times 3\times 3\times 3=40[/tex] pessoas já conhecem a notícia.

Deu para pegar a ideia?

Construindo o modelo
No Dia n, a notícia já terá se espalhado por quantos municípios?

Aplicando o modelo construído a uma questão de interesse
Supondo que o Brasil possua [tex]5570[/tex] municípios, em quantos dias todas as cidades brasileiras estarão “contaminadas” pela notícia?

Recebeu uma notícia duvidosa? Não compartilhe sem antes verificar os fatos. Algumas dicas são dadas neste artigo e no vídeo abaixo:

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Introdução à Modelagem Epidemiológica

Nesta sala, vamos aprender uma versão simplificada de um dos modelos epidemiológicos mais famosos e mais utilizados: o modelo SIR.

Em 1927, o modelo SIR (Suscetíveis-Infecciosos-Removidos) foi introduzido de maneira notável em um trabalho proposto por Kermack e McKendrick. Os autores concluíram que, ainda que o agente causador não perca sua infectividade e a população não seja inteiramente infectada, a análise de uma epidemia pode resultar de uma relação especial entre a densidade populacional, a infectividade e a taxa de recuperação.

Willian O. Kermack e Anderson G. McKendrick

O modelo SIR descreve a dinâmica de uma doença infecciosa (como a gripe), que se propaga numa certa população. A população é dividida em [tex]3[/tex] estados (compartimentos), [tex]S[/tex], [tex]I[/tex] e [tex]R[/tex], que variam de acordo com o tempo [tex]t[/tex]:

[tex]\qquad \bullet[/tex] Suscetíveis [tex]S[/tex]: são vulneráveis, podem pegar a infecção, mas atualmente não estão infectados;
[tex]\qquad \bullet[/tex] Infecciosos [tex]I[/tex]: atualmente infectados, que também podem infectar a outros;
[tex]\qquad \bullet[/tex] Removidos [tex]R[/tex]: indíviduos que já foram infectados e não são, atualmente, suscetíveis a uma reinfecção, porque se recuperaram e conseguiram imunidade (pelo menos durante o período em análise) ou porque faleceram.

A quantidade de indivíduos em cada compartimento no tempo [tex]n[/tex] é dada pelas funções [tex]S(n), I(n)[/tex] e [tex]R(n)[/tex], respectivamente.

Consideramos as seguintes hipóteses para simplificar a modelagem:
[tex]\qquad \bullet[/tex] A população [tex] N=S(n)+I(n)+R(n)[/tex] é constante, isto é, não consideramos nascimentos, mortes por outros fatores, migrações etc. Se estivermos interessados em um intervalo de tempo relativamente curto, essa hipótese é bastante razoável.
[tex]\qquad \bullet[/tex] Os recuperados da doença se tornam imunes a ela, pelo menos durante o período analisado.
[tex]\qquad \bullet[/tex] Assumimos que a população é homogeneamente misturada, isto é, os infecciosos e os susceptíveis estão distribuídos aleatoriamente na área em que a população vive. Esta hipótese nem sempre é correta, mas é útil para um modelo preliminar.
[tex]\qquad \bullet[/tex] Um susceptível fica infeccioso logo após a transmissão.

Consideramos o tempo em dias: dia 1, dia 2, dia 3, …, dia n. Assim, nosso modelo é discreto, isto é, a variação não é contínua, mas ocorre em momentos isolados (os dias).

Construindo o modelo

Consideramos dois dias consecutivos, o dia n e o dia n+1, e representamos por [tex]\Delta S[/tex], [tex]\Delta I[/tex] e [tex]\Delta R[/tex] as variações dos compartimentos [tex]S[/tex], [tex]I[/tex] e [tex]R[/tex] na passagem do dia n para o dia n+1, ou seja,
[tex]\qquad \Delta S = S(n+1) – S(n) = \text{Variação do número de suscetíveis};[/tex]
[tex]\qquad \Delta I = I(n+1) – I(n) = \text{Variação do número de infectados};[/tex]
[tex]\qquad \Delta R = R(n+1) – R(n) = \text{Variação do número de removidos};[/tex]

Como a única possibilidade de uma pessoa sair do compartimento [tex]S[/tex] é se for infectada e a única possibilidade de uma pessoa sair do [tex]I[/tex] é se for removida, temos
[tex](*)\begin{cases}\Delta S = -\text{Número de suscetíveis infectados do dia n para o dia n+1},\\ \Delta I = \text{Número de suscetíveis que foram infectados do dia n para o dia n+1} \\ \qquad\qquad- \text{Número de infectados que foram removidos do dia n para o dia n+1},\\
\Delta R = \text{Número de infectados que foram removidos do dia n para o dia n+1}.\end{cases}[/tex]

Vamos supor que o número de infectados que foram removidos do dia n para o dia n+1 é proporcional à quantidade de infectados no dia n. Por exemplo, podemos supor que, a cada dia, [tex]5\%[/tex] dos infectados são removidos (por recuperação ou falecimento). Podemos, portanto, assumir que existe uma taxa de remoção [tex]\gamma[/tex] do compartimento [tex]I[/tex], ou seja,
[tex]\qquad (i)\quad\text{Número de infectados que foram removidos do dia n para o dia n+1} = \gamma I(n).[/tex]

O inverso de [tex]\gamma[/tex], ou seja, [tex]1/\gamma[/tex], indica o tempo médio que um indivíduo permanece no compartimento infeccioso — o período durante o qual ele é capaz de transmitir a doença.

No caso da gripe comum, esse tempo é de aproximadamente [tex]5[/tex] dias. Isso significa que a taxa de recuperação, seu inverso, é de cerca de [tex]\gamma = 1/5[/tex] por dia, por indivíduo. Em outras palavras, a cada dia, em média, [tex]1/5[/tex] (ou [tex]20\%[/tex]) dos indivíduos infectados se recuperam e passam para o compartimento [tex]R[/tex], deixando de transmitir a doença.

Agora, para calcular o número de suscetíveis infectados do dia n para o dia n+1, podemos pensar da seguinte forma: a doença se propaga por contágio, algum tipo de contato entre um suscetível e um infeccioso. Suponhamos que cada indivíduo tem contato, em média, com [tex]c[/tex] pessoas por dia. Esta quantidade [tex]c[/tex] é a taxa de contato (“por indivíduo e por dia”). A doença é transmitida apenas quando uma pessoa infecciosa entra em contato com um suscetível. Mas, não há [tex]100\%[/tex] de certeza de que o contato resultará em contágio. Há uma probabilidade, digamos, [tex]p[/tex], de que um contato resulte em contágio.

Observe que:

• Se a população total é constituída por [tex]N[/tex] pessoas e é homogeneamente distribuída, a probabilidade de que um contato qualquer, no dia n, seja com um suscetível, é igual a [tex]S(n)/N[/tex].
• Portanto, uma pessoa infeciosa tem, em média, contato com [tex]cS(n)/N[/tex] suscetíveis por dia.
• Se [tex]p[/tex] é a probabilidade de que um contato resulte em contágio, uma vez que existem [tex]I(n)[/tex] indivíduos infectados no total, isso significa que o número de novas infecções, durante aquele dia, é [tex] cpS(n)I(n)/N[/tex].

Vamos chamar [tex]\beta=cp[/tex] de coeficiente de transmissão (“por dia”). Podemos, assim, escrever
[tex]\qquad(ii)\quad\text{Número de suscetíveis que foram infectados do dia } n \text{ para o dia }n+1 = \dfrac{\beta S(n) I(n)}{N}.[/tex]

Substituindo [tex](i)[/tex] e [tex](ii)[/tex] em [tex](*)[/tex], obtemos as seguintes variações das quantidades de suscetíveis, infectados e recuperados:
[tex]\qquad \Delta S = -\dfrac{\beta S(n) I(n)}{N},[/tex]
[tex]\qquad\Delta I = \dfrac{\beta S(n) I(n)}{N} – \gamma I(n),[/tex]
[tex]\qquad\Delta R = \gamma I(n).[/tex]

Vamos utilizar as variações que encontramos para obter as quantidades [tex]S(n+1)[/tex], [tex]I(n+1)[/tex] e [tex]R(n+1)[/tex] em função das quantidades [tex]S(n)[/tex], [tex]I(n)[/tex] e [tex]R(n)[/tex] e das taxas que definimos. Observe:
[tex]\qquad \Delta S = S(n+1) – S(n) = -\dfrac{\beta S(n) I(n)}{N},[/tex]
[tex]\qquad\Delta I = I(n+1) – I(n) = \dfrac{\beta S(n) I(n)}{N} – \gamma I(n),[/tex]
[tex]\qquad\Delta R = R(n+1) – R(n) = \gamma I(n).[/tex]

Isolando as quantidades [tex]S(n+1)[/tex], [tex]I(n+1)[/tex] e [tex]R(n+1)[/tex] no lado esquerdo das igualdades, obtemos, finalmente, o modelo SIR:
[tex]\qquad S(n+1) = S(n) – \dfrac{\beta S(n) I(n)}{N},[/tex]
[tex]\qquad I(n+1) = I(n) + \dfrac{\beta S(n) I(n)}{N} – \gamma I(n),[/tex]
[tex]\qquad R(n+1) = R(n) + \gamma I(n).[/tex]

Claro, esta é uma versão bastante simplificada do modelo SIR. Em sua forma mais completa, o modelo não é discreto, mas sim contínuo. Sua formulação utiliza derivadas, um conteúdo geralmente abordado apenas no ensino superior. Além disso, versões mais avançadas do modelo permitem incluir diversos outros fatores, como o nascimento e morte de indivíduos (dinâmica vital), o efeito de memória, entre outros aspectos mais complexos.

Mesmo assim, essa versão básica já é suficiente para gerar resultados significativos e úteis. Vamos explorá-la na prática?

Modelando uma situação real

Na edição de 4 de março de 1978 do British Medical Journal, havia um relatório com estatísticas detalhadas de uma epidemia de gripe em um colégio interno para meninos com um total de [tex]763[/tex] meninos. Este caso local é geralmente um exemplo inicial conhecido no aprendizado de modelos epidemiológicos. Os dados originais estavam disponíveis apenas em uma figura com alguns dados adicionais no texto principal; portanto, os números exatos variam dependendo da fonte. No total, [tex]512[/tex] meninos ficaram doentes. Havia [tex]763[/tex] meninos na escola.

Considere os seguintes dados:

\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Data} & \text{Meninos “de cama”}\\
\hline
22/01 & 3 \\
\hline
23/01 & 8 \\
\hline
24/01 & 26\\
\hline
25/01 & 76\\
\hline
26/01 & 225 \\
\hline
27/01 & 298\\
\hline
28/01 & 258 \\
\hline
29/01 & 233\\
\hline
30/01 & 189\\
\hline
31/01 & 128\\
\hline
01/02 & 68 \\
\hline
02/02 & 29\\
\hline
03/02 & 14 \\
\hline
04/02 & 4\\
\hline
\end{array}