Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Quantos divisores naturais possui o número [tex]1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6\times 7\times 8\times 9\times 10[/tex]?
Solução
Vamos descartar o [tex]1[/tex], pois não altera a multiplicação, e vamos fatorar cada um dos termos que não é primo. É possível saber a quantidade de divisores naturais que um número qualquer possui ao fatorá-lo em fatores primos e multiplicar os expoentes de cada fator primo somado a [tex]1[/tex] (*).
Por exemplo, o número [tex]120[/tex] tem [tex]16[/tex] divisores, pois fatorando [tex]120[/tex] temos [tex] (2^3)\cdot (3^1)\cdot (5^1)[/tex]. Os expoentes do [tex]2, 3[/tex] e [tex]5[/tex] são, respectivamente, [tex]3, 1[/tex] e [tex]1[/tex]. Daí, basta somar [tex]1[/tex] a cada um deles e multiplicá-los, ou seja, [tex] (3+1)\cdot (1+1)\cdot (1+1)=4\cdot 2\cdot 2=16[/tex].
Aplicando esse conceito podemos fatorar os números não primos na multiplicação [tex](4, 6, 8, 9, 10)[/tex] e teremos:
[tex]\qquad 1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6\times 7\times 8\times 9\times 10=[/tex]
[tex]\qquad 2\times 3\times (2^2)\times 5\times (2\times 3)\times 7\times (2^3)\times (3^2)\times (2\times 5)=[/tex]
[tex]\qquad (2^8)\times (3^4)\times (5^2)\times 7. [/tex]
Os expoentes são [tex]8, 4, 2, 1[/tex], e, somando [tex]1[/tex] a cada um e multiplicando-os, obtemos
[tex]\qquad (8+1)\cdot (4+1)\cdot (2+1)\cdot (1+1)=9\cdot 5\cdot 3\cdot 2=270[/tex] divisores.
Solução elaborada pelo COM Villa-Lobos, com contribuições dos moderadores do Blog.
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