Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Qual o quadrado do número [tex]\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}[/tex]?
Solução
Seja [tex]a=\sqrt{2+\sqrt{3}}[/tex] e [tex]b=\sqrt{2-\sqrt{3}}[/tex]. Aplicando produtos notáveis, temos [tex](a+b)^2=a^2+2ab+b^2[/tex]. Observe que:
[tex]\qquad a=\sqrt{2+\sqrt{3}}[/tex] e [tex]a^2=(\sqrt{2+\sqrt{3}})^2=2+\sqrt{3},[/tex]
[tex]\qquad b=\sqrt{2-\sqrt{3}}[/tex] e [tex]b^2=(\sqrt{2-\sqrt{3}})^2=2-\sqrt{3},[/tex]
[tex]\qquad 2ab=2\cdot(\sqrt{2+\sqrt{3}})(\sqrt{2-\sqrt{3}})=2\cdot(\sqrt{2^2-(\sqrt{3})^2})=2\cdot(\sqrt{4-3})=2.[/tex]
Portanto,
[tex]\qquad(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=2+\sqrt{3}+2+2-\sqrt{3}=6.[/tex]
Solução elaborada pelo COM Villa-Lobos, com contribuições dos moderadores do Blog.