Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
Dado [tex]x^2+\dfrac{1}{x^2}=4[/tex], com [tex]x[/tex] um número real positivo, determine o valor de [tex]x^9+\dfrac{1}{x^9}.[/tex]
Adaptado de @MathCeyhun.
Solução
Inicialmente, observe que, como [tex]x[/tex] um número real positivo,
[tex]\qquad x^2+\dfrac{1}{x^2}=4\Rightarrow \left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2-2=4 \Rightarrow x+\dfrac{1}{x}=\sqrt{6}.[/tex]
Por outro lado,
[tex]\qquad \left(x+\dfrac{1}{x}\right)^3=x^3+3\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+\dfrac{1}{x^3}\Rightarrow x^3+\dfrac{1}{x^3}=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^3-3\left(x+\dfrac{1}{x}\right).[/tex]
Dessa forma,
[tex]\qquad x^3+\dfrac{1}{x^3}=(\sqrt{6})^3-3\cdot (\sqrt{6})=3\cdot \sqrt{6}.[/tex]
Finalmente,
[tex]\qquad \left(x^3+\dfrac{1}{x^3}\right)^3=x^9+3\left(x^3+\dfrac{1}{x^3}\right)+\dfrac{1}{x^9}\Rightarrow[/tex]
[tex]\qquad x^9+\dfrac{1}{x^9}=\left(x^3+\dfrac{1}{x^3}\right)^3-3\left(x^3+\dfrac{1}{x^3}\right) \Rightarrow x^9+\dfrac{1}{x^9}=(3\sqrt{6})^3-3\cdot (3\cdot \sqrt{6})\Rightarrow[/tex]
[tex]\qquad x^9+\dfrac{1}{x^9}=153\sqrt{6}.[/tex]
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