.Probleminha: Quantidade de Ímpares

Problema
(Indicado a partir do 6º ano do E. F.)

Qual a quantidade de números ímpares, compreendidos entre $1\ 000$ e $9\ 999$, cuja soma dos algarismos é $18$ e que possuem três algarismos iguais?

Solução

Para desenvolver essa questão, podemos analisar os possíveis três algarismos repetidos (que só podem estar entre $1$ a $9$), levando em conta que devemos encontrar a soma de $4$ algarismos que resulte em $18$, sendo o número ímpar.

Primeiramente, verificamos que, se o número $1$ for aquele que se repete, não existe número que resulte no esperado pois, com o número $X111$, com algarismos em qualquer ordem, temos que $X+1+1+1 \not= 18$. Por que isso acontece? O motivo é simples: essa soma nunca será igual a $18$, não importa qual seja o $X$ entre $0$ e $9$. Pelo mesmo motivo, o algarismo que se repete não pode ser o $2$.

O algarismo que se repete também não pode ser $4$, pois o número ${X444}$ seria par, independentemente da posição dos algarismos, o mesmo acontecendo com o algarismo $6$ se repetindo.

Para os algarismos $7$, $8$ e $9$ se repetindo, teremos uma soma maior que $18$ para qualquer $X$ variando de $0$ a $9$.

Pode-se analisar que, se os números $3$ e $5$ são os que se repetem, existem soluções, pois: $3+3+3+9=18$ e $5+5+5+3=18$.

Lembre-se de que o número precisa ser ímpar, mas perceba que não importa a posição que todos eles estão, pois os algarismos são todos ímpares em ambos os casos.

Para “embaralhar” os números $3,3,3,9$, temos as seguintes opções: $3\,339, 3\,393, 3\,933, 9\,333$. Isso mostra que, com os números $3,3,3,9$ podemos formar $4$ números, e o mesmo é válido para $5,5,5,3$.

Veja que
$\qquad 9+3+3+3 = 3+9+3+3 = 3+3+9+3 = 3+3+3+9=18,$
e que
$\qquad 3+5+5+5=5+3+5+5=5+5+3+5=5+5+5+3=18$.

Portanto, a quantidade de números ímpares entre $1\,000$ e $9\,999$, cuja soma resulta em $18$ e que possuem exatamente $3$ algarismos repetidos é $8$.

Solução elaborada pelo COM Phidias, com contribuições dos Moderadores do Blog.