Resto da divisão

PROBLEMA

Encontre o resto da divisão de [tex]6^{2024}[/tex] por [tex]37[/tex].

Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema.
Mas se não conseguirem, não faz mal. A partir do dia 18, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala Problemas da Semana: Dicas, Orientações e Dúvidas do nosso Fórum.
Lá vocês encontrarão Dicas e Orientações para tentarem resolver o problema e também poderão postar as suas dúvidas para que os nossos Moderadores possam lhes ajudar.
Resolvido o problema, vocês podem postar suas soluções no Blog para que todos tenham acesso a elas!

Bons estudos, pessoal!

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4 comentários

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  1. Para resolver essa questão irei usar aritmética modular e um produto notável.
    Analisando que :
    [tex]a^2-b^2=(a+b)\cdot(a-b)[/tex] e substituindo [tex]a=6^2=36[/tex] e [tex]b=1[/tex]
    Temos:
    [tex](I)\ 36^2-1=37\cdot35[/tex]
    Por aritmética modular temos:
    [tex](II)\ m \mid p-q[/tex]
    Então:
    [tex](III)\ p\equiv q \pmod{m}[/tex]
    Substituindo [tex]p=36^2=6^4[/tex], [tex]q=1[/tex] e [tex]m=37[/tex], por [tex](I)[/tex] e [tex](II)[/tex], [tex](III)[/tex] é valida ficando [tex]6^4\equiv 1 \pmod{37}[/tex]
    Usando a propriedade:
    [tex](IV)\ p^k \equiv q^k \pmod{m}, \ \ k \in \mathbb{Z_+^*}[/tex]
    Como:
    [tex]6^{2024}=(6^4)^{506}[/tex] em [tex](IV)[/tex] ficamos com [tex](6^4)^{506} \equiv 1^{506} \pmod{37}[/tex], logo temos resto 1.

  2. Correto, pessoal.

  3. Perceba que, podemos reescrever [tex]6^{2024}[/tex] como [tex](6^2)^{1012}[/tex], e também podemos reescrever [tex]37 = 36 + 1 = 6^2 + 1[/tex]. Análisando primeiramente por números pequenos, podemos notar que: [tex]\frac{6^2}{6^2}[/tex] é uma divisão perfeita (não deixa resto), portanto, o numerador é um múltiplo do denominador. Agora, ao efetuarmos [tex]\frac{6^2}{6^2 + 1}[/tex], notamos que, por [tex]1[/tex] unidade a mais, o numerador já não é mais múltiplo do denominador, ou seja, visando uma divisão perfeita (com resto), [tex]\frac{6^2}{6^2 + 1}[/tex] resulta no mesmo quociente que [tex]\frac{6^2}{6^2}[/tex] e deixa resto igual a [tex]1[/tex]. Subindo os valores: [tex]\frac{(6^2)^2}{6^2}[/tex] é uma divisão perfeita, pois o numerador é múltiplo do denominador, já quando efetuamos [tex]\frac{(6^2)^2}{6^2 + 1}[/tex] não é uma divisão inteira, novamente, pois o numerador deixou de ser múltiplo do denominador por [tex]1[/tex] unidade a mais, portanto, está divisão resultará no mesmo quociente que [tex]\frac{(6^2)^2}{6^2}[/tex] e deixará resto igual a [tex]1[/tex]. Conforme prosseguimos o processo, utilizando [tex]\frac{(6^2)^3}{6^2}[/tex], [tex]\frac{(6^2)^4}{6^2}[/tex], [tex]\frac{(6^2)^5}{6^2}[/tex], [tex]\frac{(6^2)^6}{6^2}[/tex], … , [tex]\frac{(6^2)^{1012}}{6^2}[/tex], sempre irémos ter divisões perfeitas, enquanto, ao efetuarmos [tex]\frac{(6^2)^3}{6^2 +1}[/tex], [tex]\frac{(6^2)^4}{6^2 +1}[/tex], [tex]\frac{(6^2)^5}{6^2 +1}[/tex], [tex]\frac{(6^2)^6}{6^2 +1}[/tex], … , [tex]\frac{(6^2)^{1012}}{6^2 +1}[/tex], sempre teremos divisões que acabam com resto igual a [tex]1[/tex]. Portanto, podemos afirmar que, [tex]\frac{(6^2)^{1012}}{6^2 + 1} = \frac{6^{2024}}{37}[/tex] é uma divisão que deixará resto igual a [tex]1[/tex]

    [i]Obs: optamos por utilizar as frações para representar todas as divisões, para facilitar a visualização e deixar a leitura da resolução mais clara :D [/i]

    1. Caros, algumas partes da resolução de vocês estão um pouco confusas. Vamos lá:

      • “é uma divisão perfeita (não deixa resto)”
      • “visando uma divisão perfeita (com resto)”

      Percebam que houve uma contradição. Afinal, o que é uma divisão perfeita? :?

      Em outro trecho vocês escrevem: “[tex]\frac{6^2}{6^2 + 1}[/tex] resulta no mesmo quociente que [tex]\frac{6^2}{6^2}[/tex] e deixa resto igual a [tex]1.[/tex]”, mas isso não é verdade. Vejam que [tex]\frac{6^2}{6^2}=1[/tex] e deixa resto [tex]0,[/tex] enquanto que [tex]\frac{6^2}{6^2 + 1} = \frac{36}{37}=0[/tex] e deixa resto [tex]36.[/tex] Correto? Acho que ouve uma certa confusão. Percebam que, na verdade, quando dividimos [tex]37[/tex] por [tex]36[/tex] é que temos quociente igual a [tex]1[/tex] e resto igual a [tex]1.[/tex] Bom, e toda a solução de vocês está embasada nessa afirmação que vocês fizeram. Portanto, sugerimos que tentem refazer. O que acham?

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