LaTeX - Comandos básicos

[OBMEP]

Como
$\qquad \qquad \begin{array}{r r |l} 360 & 300 & 2\\ 180 & 150 & 2\\ 90 & 75 & 2\\ 45 & 75 & 3 \\ 15 & 25 & 3 \\ 5 & 25 & 5\\ 1 & 5 & 5 \\ 1 & 1 &\overline{2^3\cdot 3^2\cdot 5^2} \end{array}$

então

$\qquad \qquad \boxed{mmc(360, 300) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2=1800}$.

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[tex]\begin{array}{r r |l}
360 & 300 & 2\\
180 & 150 &  2\\
90 & 75 & 2\\
45 & 75 & 3 \\
15 & 25 & 3 \\
5 & 25 &  5\\
1 & 5 & 5 \\
1 & 1 &\overline{2^3\cdot 3^2\cdot 5^2}
\end{array}[/tex]

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[tex]\boxed{mmc(360, 300) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2=1800}[/tex]

[OBMEP]

$\qquad \qquad \begin{array}{r r |l} 360 & 300 & 2\\ 180 & 150 & 2\\ 90 & 75 & 2\\ 45 & 75 & 3 \\ 15 & 25 & 3 \\ 5 & 25 & 5\\ 1 & 5 & 5 \\ 1 & 1 &\ \end{array}$

podemos assinalar os fatores primos comuns

$\qquad \qquad \begin{array}{r r |l} 360 & 300 & \fcolorbox{black}{yellow}{2} \\ 180 & 150 & \fcolorbox{black}{yellow}{2}\\ 90 & 75 & 2\\ 45 & 75 & \fcolorbox{black}{yellow}{3} \\ 15 & 25 & 3 \\ 5 & 25 & \fcolorbox{black}{yellow}{5}\\ 1 & 5 & 5 \\ 1 & 1 &\ \end{array}$

e assim obter simultaneamente que:

$\qquad \qquad \boxed{mdc(360, 300) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5=60}~~~~~~~~~~$ e $~~~~~~~~~~\boxed{mmc(360, 300) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2=1800}$

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[tex]\begin{array}{r r |l}
360 & 300 & \fcolorbox{black}{yellow}{2} \\
180 & 150 &   \fcolorbox{black}{yellow}{2}\\
90 & 75 & 2\\
45 & 75 &  \fcolorbox{black}{yellow}{3} \\
15 & 25 & 3 \\
5 & 25 &   \fcolorbox{black}{yellow}{5}\\
1 & 5 & 5 \\
1 & 1 &\
\end{array}[/tex]

[OBMEP]

$\qquad \begin{cases} x + y = 5 \\ x-y = 1 \end{cases}$

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[tex]\begin{cases} x + y = 5 \\ x-y = 1 \end{cases}[/tex]

$\qquad \begin{cases} x + y +z= 3 \\ x+y-z = 2 \\x-y+z=2 \end{cases}$

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[tex]\begin{cases} x + y +z= 3 \\ x+y-z = 2 \\x-y+z=2 \end{cases}[/tex]

$\qquad \begin{cases} x + y +z+t= 6 \\ x+y-z+t = 4 \\x-y+z+t=2 \\ x+y+z-2t=3 \end{cases}$

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[tex]\begin{cases} x + y +z= 3 \\ x+y-z = 2 \\x-y+z=2 \end{cases}[/tex]

---

$\qquad \begin{align*} A & = \frac{\pi r^2}{2} \\ & = \frac{1}{2} \pi r^2 \end{align*}$

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[tex]\begin{align*} 
A & = \frac{\pi r^2}{2} \\  & = \frac{1}{2} \pi r^2
\end{align*}[/tex]

$\qquad \begin{align*} x & =(12+1)\cdot(6+1)\cdot(3+1)\cdot (1+1) \cdot (1+1) \\ & = 13\times 7 \times 4 \times 2 \times 2 \\ & = 1456\end{align*}$

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[tex]\begin{align*} x & =(12+1)\cdot(6+1)\cdot(3+1)\cdot (1+1) \cdot (1+1) \\ & = 13\times 7 \times  4 \times 2 \times 2 \\ & = 1456\end{align*}[/tex]

$\qquad \begin{align*} S & =45+1\cdot (1+2+3+~\cdots~+9)+2\cdot (1+2+3+~\cdots~+9)+~\cdots~+9\cdot (1+2+3+~\cdots~+9)\\ & = 45+(1+2+~\cdots~+9)\cdot (1+2+~\cdots~+9)\\ & = 45+(1+2+~\cdots~+9)^2 \\ & = 45+45^2 \\ &=2070\end{align*}$

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[tex]\begin{align*} S & =45+1\cdot (1+2+3+~\cdots~+9)+2\cdot (1+2+3+~\cdots~+9)+~\cdots~+9\cdot (1+2+3+~\cdots~+9)\\
& = 45+(1+2+~\cdots~+9)\cdot (1+2+~\cdots~+9)\\ 
& = 45+(1+2+~\cdots~+9)^2 \\
& = 45+45^2 \\
& = 2070\end{align*}[/tex]

[Sonia Giacomo]

$\begin{array}{c} a~~\end{array} \begin{array}{|c} ~~b~~ \\ \hline \end{array}$
$\begin{array}{c} r \end{array}\begin{array}{c} ~~~~q \end{array}$

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[tex]\begin{array}{c}
a~~\end{array}   \begin{array}{|c} 
~~b~~ \\  \hline
\end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{c}
r
\end{array}\begin{array}{c}
~~~~q
\end{array}[/tex]

---

---

Como
$\begin{array}{c} 1753~~\end{array} \begin{array}{|c} ~~3~~~~ \\ \hline \end{array}$
$\begin{array}{r} \hspace1ex 253 \end{array}\begin{array}{c} ~~~~584 \end{array}$
$\begin{array}{c} \hspace2ex 13 \\ \hspace4ex 1\\ \end{array}$
então

$\begin{array}{r} 1753~\end{array} \begin{array}{|r} ~3~~~~ \\ \hline \end{array}$
$\begin{array}{r} ~~~~~~~1 \end{array}\begin{array}{r} ~~584 \end{array}$
ou seja,

$1753=584 \times 3 +1$.

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[tex]\begin{array}{c}
1753~~\end{array}   \begin{array}{|c} 
~~3~~~~ \\  \hline
\end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{c}
\hspace1ex 253
\end{array}\begin{array}{c}
~~~~584
\end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{c}
\hspace2ex 13 \\
 \hspace4ex 1\\
\end{array}[/tex]

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[tex]\begin{array}{r}
1753~\end{array}   \begin{array}{|r} 
~3~~~~ \\  \hline
\end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{r}
~~~~~~~1
\end{array}\begin{array}{r}
 ~~584
\end{array}[/tex]

[Sonia Giacomo]

$\qquad \leftarrow$

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[tex]\leftarrow[/tex]

$\qquad \uparrow$

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[tex]\uparrow[/tex]

$\qquad \rightarrow$

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[tex]\rightarrow[/tex]

$\qquad \downarrow$

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[tex]\downarrow[/tex]

$\qquad \leftrightarrow$

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[tex]\leftrightarrow[/tex]

$\qquad \hookleftarrow$

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[tex]\hookleftarrow[/tex]

$\qquad \hookrightarrow$

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[tex]\ hookrightarrow[/tex]

$\qquad \Leftarrow$

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[tex]\Leftarrow[/tex]

$\qquad \Uparrow$

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[tex]\Uparrow[/tex]

$\qquad \Rightarrow$

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[tex]\Rightarrow[/tex]

$\qquad \Downarrow$

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[tex]\Downarrow[/tex]

$\qquad \Leftrightarrow$

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[tex]	\Leftrightarrow[/tex]

[Sonia Giacomo]

$\qquad 41\underbrace{2 \dots 2}_{300}75$

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[tex]41\underbrace{2 \dots 2}_{300}75[/tex] 

---

$\qquad 41\underbrace{2 \dots 2}_{300~vezes}75$

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[tex]41\underbrace{2 \dots 2}_{300~vezes}75[/tex] 

---

$\qquad n=25\underbrace{00\cdots00}_{1999~zeros}$

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[tex]n=25\underbrace{00\cdots00}_{1999~zeros}[/tex] 

---

$\qquad 41\overbrace{2 \dots 2}^{300}75$

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[tex]41\overbrace{2 \dots 2}^{300}75[/tex] 

---

$\qquad 41\overbrace{2 \dots 2}^{300~vezes}75$

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[tex]41\overbrace{2 \dots 2}^{300~vezes}75[/tex] 

---

$\qquad n=25\overbrace{00\cdots00}^{1999~zeros}$

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[tex]n=25\overbrace{00\cdots00}^{1999~zeros}[/tex] 

---

[Sonia Giacomo]

Vejam as diferenças:

• $(\dfrac{1}{2})^2~~~~~~$ e $~~~~~~\left( \dfrac{1}{2} \right) ^2$
• $\{\dfrac{1}{2},~\dfrac{1}{4},~\dfrac{1}{8},~\dfrac{1}{16}\}~~~~~~$ e $~~~~~~ \left\{\dfrac{1}{2},~\dfrac{1}{4},~\dfrac{1}{8},~\dfrac{1}{16} \right\}$
• $[\dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{5}]~~~~~~$ e $~~~~~~\left[\dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{5}\right]$.

Para que os parêntesis, as chaves e os colchetes fiquem proporcionais aos outros símbolos utilizados:

• substituam ( lalalá ) por \left( lalalá \right)
• substituam \{ lalalá \} por \left\{ lalalá \right\}
• substituam [ lalalá ] por \left[ lalalá \right]

---

$\left( \dfrac{1}{2} \right) ^2$

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[tex] \left( \dfrac{1}{2} \right) ^2[/tex]

---

$\left\{ \dfrac{1}{2},~\dfrac{1}{4},~\dfrac{1}{8},~\dfrac{1}{16} \right\}$

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[tex] \left\{ \dfrac{1}{2},~\dfrac{1}{4},~\dfrac{1}{8},~\dfrac{1}{16} \right\} [/tex] 

---

$\left[ \dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{5} \right]$

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[tex] \left[ \dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{5} \right] [/tex]

[Sonia Giacomo]

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \mathbf{ab} cde & --- & 30 \\ \hline cde & \mathbf{a}b & 27 \\ \hline \mathbf{ac}de & b & 26 \\ \hline de & \mathbf{a} bc & 20 \\ \hline a\textbf{de} & bc & 19 \\ \hline a & \mathbf{b}cde & 7 \\ \hline \mathbf{ab} &cde & 4 \\ \hline --- & abcde & 1 \\ \hline \end{array}$

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[tex]\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\mathbf{ab} cde & --- & 30 \\ \hline
cde & \mathbf{a}b & 27 \\ \hline
\mathbf{ac}de & b & 26 \\ \hline
de & \mathbf{a} bc & 20 \\ \hline
a\textbf{de} & bc & 19 \\ \hline
a & \mathbf{b}cde & 7 \\ \hline
\mathbf{ab}  &cde & 4 \\ \hline
--- & abcde & 1 \\ \hline
\end{array}[/tex]

---

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \mathbf{ab} \text{cde} & --- & 30 \\ \hline \text{cde} & \mathbf{a} \text{b} & 27 \\ \hline \mathbf{ac} \text{de} & \text{b} & 26 \\ \hline \text{de} & \mathbf{a} \text{bc} & 20 \\ \hline \text{a}\textbf{de} & \text{bc} & 19 \\ \hline \text{a} & \mathbf{b} \text{cde} & 7 \\ \hline \mathbf{ab} & \text{cde} & 4 \\ \hline --- & \text{abcde} & 1 \\ \hline \end{array}$

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[tex]\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\mathbf{ab} \text{cde} & --- & 30 \\ \hline
\text{cde} & \mathbf{a} \text{b} & 27 \\ \hline
\mathbf{ac} \text{de} & \text{b} & 26 \\ \hline
\text{de} & \mathbf{a} \text{bc} & 20 \\ \hline
\text{a}\textbf{de} & \text{bc} & 19 \\ \hline
\text{a} & \mathbf{b} \text{cde} & 7 \\ \hline
\mathbf{ab}  & \text{cde} & 4 \\ \hline
--- & \text{abcde} & 1 \\ \hline
\end{array}[/tex]

---

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \textcolor{red}{ab}cde & --- & 30 \\ \hline cde & \textcolor{red}{a}b & 27 \\ \hline \textcolor{red}{ac}de & b & 26 \\ \hline de &\textcolor{red}{a}bc & 20 \\ \hline a\textcolor{red}{de} & bc & 19 \\ \hline a & \textcolor{red}{b}cde & 7 \\ \hline \textcolor{red}{ab} & cde & 4 \\ \hline --- & abcde & 1 \\ \hline \end{array}$

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\textcolor{red}{ab}cde & --- & 30 \\ \hline
cde & \textcolor{red}{a}b & 27 \\ \hline
\textcolor{red}{ac}de & b & 26 \\ \hline
de &\textcolor{red}{a}bc & 20 \\ \hline
a\textcolor{red}{de} & bc & 19 \\ \hline
a & \textcolor{red}{b}cde & 7 \\ \hline
\textcolor{red}{ab} & cde & 4 \\ \hline
--- & abcde & 1 \\ \hline
\end{array}[/tex]