.Desafio: Um quadrado em um triângulo

Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)


Descobrir um método geométrico para inscrever um quadrado num dado triângulo qualquer.
Um dos lados do quadrado deve estar sobre o maior lado do triângulo e os outros dois vértices do quadrado devem ficar sobre os outros dois lados do triângulo, como na figura abaixo.

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Lembretes e notações

(1) Caso de Semelhança A.A. (ângulo – ângulo): Se dois ângulos de um triângulo são congruentes a dois ângulos de outro triângulo, então estes triângulos são semelhantes.
(2) Em triângulos semelhantes, os lados correspondentes são proporcionais.
(Há uma Sala de Ajuda sobre triângulos semelhantes no nosso Blog!)
(3) Denotaremos o segmento definido por dois pontos, digamos [tex]X[/tex] e [tex]Y[/tex], por [tex]\overline{XY}[/tex] e o comprimento desse segmento por [tex]XY[/tex].
(4) Denotaremos o ângulo de vértice [tex]V[/tex] e definido por dois pontos, digamos [tex]X [/tex] e [tex]Y[/tex], por [tex]X\widehat{V}Y. [/tex]

Solução 1


Inicialmente, no triângulo [tex]ABC[/tex] dado (consideremos [tex]\overline{AC}[/tex] o maior lado), construímos um quadrado que tenha dois de seus vértices sobre [tex]\overline{AC}[/tex] e um vértice sobre [tex]\overline{AB}[/tex], como ilustra a figura abaixo. Seja [tex]G[/tex] o quarto vértice do quadrado (observamos que este vértice poderia estar no exterior do triângulo).

triângulo no quadrado ref

Feito isto, traçamos a reta [tex]AG[/tex] e definimos o ponto [tex]P[/tex], intersecção da reta [tex]AG[/tex] e [tex]\overline{BC}[/tex]. A partir de [tex]P[/tex], traçamos uma reta paralela à reta [tex]AC[/tex] e uma perpendicular à reta [tex]AC[/tex], definindo assim os pontos de interseção [tex]S[/tex] e [tex]Q[/tex], respectivamente (como ilustra a figura abaixo).

triângulo no quadrado2 ref

Finalmente, com uma perpendicular à reta [tex]AC[/tex] passando por [tex]S[/tex], teremos o ponto [tex]R[/tex], intersecção da reta [tex]AC[/tex] com a perpendicular traçada. O quadrilátero [tex]PQRS[/tex] é a solução do problema.

triângulo no quadrado3 ref

Por que a solução é boa?

  • Reparem que, pela construção feita, os triângulos [tex]APQ[/tex] e [tex]AGD[/tex] são semelhantes, já que os ângulos [tex]P\widehat{Q}A[/tex] e [tex]G\widehat{D}A[/tex] têm a mesma medida (ambos são ângulos retos) e [tex]P\widehat{A}C[/tex] é um ângulo comum aos dois triângulos. Assim, [tex]\dfrac{PQ}{AP} = \dfrac{GD}{AG}[/tex].
    Os triângulos [tex]AFG[/tex] e [tex]ASP[/tex] também são semelhantes (Que tal você verificar?); assim, da mesma forma, temos que [tex]\dfrac{SP}{AP} = \dfrac{FG}{AG}[/tex].
    Como [tex]\overline{GD}[/tex] e [tex]\overline{FG}[/tex] são lados de um mesmo quadrado, então [tex]GD=FG[/tex] e, portanto, concluímos que [tex]SP= PQ[/tex].
  • Os ângulos retos do quadrilátero [tex]PQRS[/tex] podem ser verificados por construção e por paralelismo.

Sendo assim, temos que [tex]PQRS[/tex] é, de fato, um quadrado, respeitando-se as condições estabelecidas pelo problema.

Para visualizar a construção do quadrado [tex]PQRS[/tex] resultante desta solução, clique no botão abaixo e utilize o applet disponibilizado.

Um applet para ilustrar. . .


Instruções:
(1) Espere o aplicativo carregar completamente e clique sucessivamente nos quadradinhos que irão aparecer.
(2) Você poderá modificar o triângulo inicial [tex]ABC[/tex]; basta clicar com um dos botões do mouse sobre o ponto [tex]B[/tex], ou [tex]C[/tex], manter o mouse pressionado e fazer o movimento. Mas, ao fazer modificações, lembre-se de que estamos considerando [tex]\overline{AC}[/tex] o maior lado do triângulo.
(3) Para retornar à configuração inicial, clique nas setinhas que aparecem no canto superior direito do aplicativo.


OBMEP_srg, criado com o GeoGebra


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

 

Solução 2


Utilizando o mesmo triângulo [tex]ABC[/tex] apresentado na solução anterior, construímos o quadrado [tex]ACDE[/tex] sobre o lado [tex]\overline{AC}[/tex] (no semiplano oposto ao do triângulo inicial) e traçamos as retas [tex]BD[/tex] e [tex]BE[/tex], como ilustra a figura abaixo.
Pelos pontos de intersecção das retas [tex]BD[/tex] e [tex]BE[/tex] com [tex]\overline{AC}[/tex] ([tex]Q[/tex] e [tex]R[/tex], respectivamente), traçamos as perpendiculares à reta [tex]AC[/tex], que definirão, respectivamente, os pontos [tex]P[/tex] e [tex]S[/tex].
Assim, teremos que o quadrilátero [tex]PQRS[/tex] define o quadrado que é solução do problema.
triângulo no quadrado4 ref
Deixamos para que você verifique por que esta solução também é correta. Como sugestão, vocês podem analisar três pares de triângulos:

  • triângulo [tex]BSR[/tex] e triângulo [tex]BAE[/tex],
  • triângulo [tex]BPQ[/tex] e triângulo [tex]BCD[/tex],
  • triângulo [tex]BQR[/tex] e triângulo [tex]BDE[/tex].

Para visualizar a construção do quadrado [tex]PQRS[/tex] construído conforme esta segunda solução, clique no botão abaixo e utilize o applet disponibilizado.

Um applet para ilustrar. . .


Instruções:
(1) Espere o aplicativo carregar completamente e clique sucessivamente nos quadradinhos que irão aparecer.
(2) Você poderá modificar o triângulo inicial [tex]ABC[/tex]; basta clicar com um dos botões do mouse sobre o ponto [tex]B[/tex], manter o mouse pressionado e fazer o movimento. Mas, ao fazer modificações, lembre-se de que estamos considerando o quadrado [tex]ACDE[/tex] no semiplano oposto ao do triângulo inicial [tex]ABC[/tex].
(3) Para retornar à configuração inicial, clique nas setinhas que aparecem no canto superior direito do aplicativo.


OBMEP_srg, criado com o GeoGebra


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

 

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