.Problemão: Quantos triângulos?

Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)


Existem [tex]n[/tex] triângulos distintos com os vértices nos pontos da figura.
Quantos triângulos
Qual o valor de [tex]n[/tex] ?

Lembrete

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A Análise Combinatória nos ensina que uma das maneiras de agruparmos elementos de um dado conjunto é escolhê-los levando-se em consideração apenas a sua natureza, sem se importar em que ordem eles foram escolhidos ou apresentados. Esse tipo de agrupamento de elementos é denominado uma Combinação simples. Especificamente, quando escolhemos [tex]r[/tex] dentre [tex]n[/tex] elementos de um conjunto dessa forma, dizemos que estamos definindo uma Combinação simples de [tex]n[/tex] elementos tomados [tex]r[/tex] a [tex]r[/tex].

  • O número de Combinações simples de [tex]n[/tex] elementos, tomados [tex]r[/tex] a [tex]r[/tex], é denotado por [tex]\,C_{n\, ,\, r}\,[/tex] ou [tex]\,C_n^r\,[/tex] e assim definido:

[tex]C_{n\, ,\, r}=C_n^r=\dfrac{n!}{(n-r)!\, r!} \text{, com } n,r \in\mathbb{N} \text{ e }\,0 \lt r\leqslant n[/tex].

Solução


No total há [tex]13[/tex] pontos na figura e sabemos que a quantidade de combinações possíveis de [tex]3[/tex] pontos dentre os [tex]13[/tex] é
[tex]\qquad C_{13,3}=\dfrac{13!}{3!10!}=286[/tex].
Porém, queremos apenas as combinações que formam triângulos; devemos, então, subtrair de [tex]286[/tex] todas as combinações em que os [tex]3[/tex] pontos escolhidos são colineares. Há três situações em que isso acontece, a saber:
• Na perna esquerda do “A” temos [tex]6[/tex] pontos colineares;
• Na perna direita do “A” temos [tex]6[/tex] pontos colineares;
• No meio temos [tex]4[/tex] pontos colineares.
Assim, a quantidade total de triângulos que podem ser obtidos com vértices nos pontos dessa figura é:
[tex] \quad\quad\quad C_{13,3}- 2C_{6,3}- C_{4,3}=286-40-4=\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$242$}\,[/tex].


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Participou da discussão o Clube KHÉRIMA.

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