Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Considere o cubo indicado na figura, sendo [tex]A, B, C[/tex] os pontos médios das arestas mostradas.
Seccionando esse cubo por um plano que passe por [tex] A, B[/tex] e [tex]C[/tex], é possível retirar uma pirâmide de vértice [tex]V[/tex] e base triangular regular [tex]ABC[/tex].
Procedendo desse mesmo modo com os outros vértices do cubo original, descreva como serão todas as faces do poliedro final obtido.
Solução
Após todas as retiradas descritas no enunciado, o poliedro resultante é o mostrado abaixo, no qual existem 8 faces triangulares regulares e 6 faces quadrangulares regulares, num total de 14 faces.
Essa figura é conhecida como cuboctaedro.
Imagem extraída da Wikipédia
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Um applet para ilustrar
Você pode utilizar o applet abaixo para visualizar o problema e a sua solução.
Além do cubo, você vai visualizar uma a uma as oito pirâmides que serão construídas e retiradas posteriormente. Para isso é só esperar o aplicativo carregar completamente e clicar sucessivamente nos quadradinhos que irão aparecer na janela da esquerda do aplicativo.
Instruções:
(1) Espere o applet carregar. (O aplicativo abrirá uma janela 3D; assim, ele pode demorar um pouquinho para carregar.)
(2) Para clicar nos quadradinhos, utilize o botão esquerdo do mouse.
(3) A qualquer momento do processo, você poderá movimentar o cubo que aparece logo no primeiro passo, assim como o poliedro final obtido. Para isso, clique em qualquer ponto da janela direita do aplicativo, mantenha o mouse pressionado e faça o movimento. (Se você estiver utilizando um celular ou um tablet, basta tocar levemente na janela do aplicativo e fazer o movimento.)
(4) Depois de construídas as oito pirâmides, ao clicar no último quadradinho que irá aparecer (Poliedro final obtido) o cubo inicial e todas as pirâmides serão retiradas para que você visualize o poliedro final.
(5) Para retornar à configuração inicial, clique nas setinhas circulares que aparecem ao lado da palavra Cubo.
OBMEP_ srdg, criado com o GeoGebra