out 08

Ali Babão e a Trigésima Sétima de suas 40 Equações

PROBLEMA

Ali Babão criou uma gincana com algumas equações de sua escolha e Robério, um de seus alunos, recebeu uma ficha com o seguinte problema:

Calcular a soma [tex]S[/tex] das soluções reais da equação [tex]2^x-2^{-x}=5(1-2^{-x}).[/tex]

Ele resolveu corretamente o problema em [tex]2^S[/tex] minutos. O tempo limite para receber o prêmio era de [tex]5[/tex] minutos. Robério recebeu o prêmio?

Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema.
Mas se não conseguirem, não faz mal. A partir do dia 12, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala Problemas de 2023: Dicas, Orientações e Dúvidas do nosso Fórum.
Lá vocês encontrarão Dicas e Orientações para tentarem resolver o problema e também poderão postar as suas dúvidas para que os nossos Moderadores possam lhes ajudar.
Resolvido o problema, vocês podem postar suas soluções no Blog para que todos tenham acesso a elas!

Bons estudos, pessoal!

Link permanente para este artigo: http://clubes.obmep.org.br/blog/2023/10/177460/

2 comentários

  1. Sim, Robério recebeu o prêmio pois resolveu em 4 minutos. Para achar as soluções da equação devemos aplicar inicialmente algumas propriedades, sendo que o expoente -x pode ficar positivo quando se inverte a base, do lado direito iremos aplicar além dessa propriedade a distributiva, e no lado esquerdo teremos uma soma de frações. Depois disso teremos algo como:
    (2^2x-1)/2^x = 5 – 5/2^x). Devido ao 2^2x, vamos chamar 2^x de A, substituir na equação e resolver como uma simples continha de segundo grau, então vamos resolver: (A^2 – 1)/A = 5 – 5/A. Encontraremos como possíveis valores de A, 1 e 4. Agora basta Substituir esses valores no lugar de 2^x da equação anterior. Os valores encontrados para X serão 0 e 2, portanto a soma das soluções é 2. Se S = 2, então 2^S < 5, pois 2^S = 4.

    1. Muito bem, pessoal!!

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