PROBLEMA
O sistema de segurança de um celular utiliza um teclado numérico, conforme ilustrado na figura.
Uma pessoa observa de longe o proprietário do celular e percebe que:
I) O código utilizado possui [tex]4[/tex] dígitos.
II) O primeiro e o último dígitos encontram-se numa mesma linha.
III) O segundo e o terceiro dígitos encontram-se na linha imediatamente superior.
Calcule o número de códigos que deverão ser experimentados para que com certeza essa pessoa consiga desbloquear e acessar as informações desse aparelho celular.
Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema.
Mas se não conseguirem, não faz mal. A partir do dia 28, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala Problemas de 2023: Dicas, Orientações e Dúvidas do nosso Fórum.
Lá vocês encontrarão Dicas e Orientações para tentarem resolver o problema e também poderão postar as suas dúvidas para que os nossos Moderadores possam lhes ajudar.
Resolvido o problema, vocês podem postar suas soluções no Blog para que todos tenham acesso a elas!
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Resolvido o problema, vocês podem postar suas soluções no Blog para que todos tenham acesso a elas!
Bons estudos, pessoal!
8 comentários
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Observe que temos 4 linhas no painel de dígitos, e que uma delas não tem o mesmo número de elementos. Logo, vamos dividir em casos:
Primeiramente, observe que o 1° e o 4° número do código não podem pertencer à 1° linha de cima para baixo, uma vez que o 2° e o 3° dígitos tem que pertencer a uma linha a cima, que é inexistente nesse caso.
O 2° e o 3° caso é quando o 1° e o 4° dígito pertencem à 2° ou à 3° linha, de modo que para escolher o 1° dígito temos 6 opções (qualquer número da 2° ou da 3° linha), para escolher o 2° dígito tem-se 3 opções (qualquer um dos 3 números disponíveis em uma linha imediatamente acima do 1° dígito), o mesmo acontece para o 3° dígito, tem-se 3 opções. Por fim, para o último dígito, ele tem que pertencer à mesma linha do 1° dígito, isto é, 3 opções. Logo, pelo PFC temos [tex]6.3.3.3=162[/tex] opções de código completo nesse caso.
Já o 4° e último caso, é quando o 1° e o 4° dígito pertencem à 4° linha, isto é, são o algarismo 0. Nesse caso temos 1 opção para o 1° dígito (o algarismo 0), 3 opções de número para o 2° dígito (qualquer um da 3° linha), também 3 para o 3° dígito e, por fim, 1 opção para o 4° dígito (o algarismo 0, novamente). Logo, pelo PFC temos [tex]1.3.3.1=9[/tex] opções nesse caso.
Portanto, somando-se os casos temos que o número de códigos que tem que ser tentado para garantir que exista um correto dentre eles é de 162+9=171 códigos.
Autor
Solução correta, SUPER GÊNIOS 3°CPM!
Parabéns pela participação.
De acordo com as condições II e III, os possíveis conjuntos de linhas que podemos ter são:
1ª e 2ª linhas
2ª e 3ª linhas
Para cada conjunto de linhas, temos 3 opções para o primeiro dígito, 3 opções para o segundo dígito, 3 opções para o terceiro dígito e 3 opções para o quarto dígito. Portanto, o número total de códigos possíveis para cada conjunto de linhas é de 3^4 = 81.
Como temos dois conjuntos possíveis de linhas (1ª e 2ª ou 2ª e 3ª), o número total de códigos que precisam ser testados é de 81 * 2 = 162.
Quando o 1° e o 4° dígito pertencem a 4° linha, isto é, são o algarismo 0. Nesse caso temos umaopção para o 1° dígito (o algarismo 0), 3 opções de números para o 2° dígito (qualquer um da 3° linha), temos também 3 para o 3° dígito e uma opção para o 4° dígito (o algarismo 0, novamente). Logo, pelo PFC temos 1.3.3.1= 9 códigos.
Logo, somando os casos, temos 162+9=171 códigos.
Autor
Solução correta, Obmépicos.
Parabéns!
Para resolver este problema, vamos analisar as restrições
fornecidas no enunciado.
Primeiro, notamos que o segundo e o terceiro dígitos devem estar
na linha imediatamente superior. Isso significa que o primeiro e o
quarto dígitos não podem estar na primeira linha.
Logo, temos três Casos:
(i) O primeiro e o quarto dígitos estão na segunda linha, e o segundo
e o terceiro dígitos estão na primeira linha.
(ii) O primeiro e o quarto dígitos estão na terceira linha, e o segundo
e o terceiro dígitos estão na segunda linha.
(iii) O primeiro e o quarto dígitos estão na quarta linha, e o segundo
e o terceiro dígitos estão na terceira linha.
Vamos calcular as possibilidades para cada um desses casos:
Caso (i): Para o primeiro e o quarto dígitos, temos 3 opções (4, 5,
6), e o mesmo vale para o segundo e o terceiro dígitos. Portanto, o
número de possibilidades para o caso (i) é 3 x 3 x 3 x 3 = 81.
Caso (ii): Novamente, temos 3 opções para o primeiro e o quarto
dígitos, e 3 opções para o segundo e o terceiro dígitos. Portanto, o
número de possibilidades para o caso (ii) é 3 x 3 x 3 x 3 = 81.
Caso (iii): Neste caso, temos apenas 1 opção para o primeiro e o
quarto dígitos (7, 8 ou 9), e 3 opções para o segundo e o terceiro
dígitos. Portanto, o número de possibilidades para o caso (iii) é 1 x
1 x 3 x 3 = 9.
Agora, somamos as possibilidades de todos os casos:
Total de possibilidades = Caso (i) + Caso (ii) + Caso (iii) = 81 + 81
+ 9 = 171
Portanto, para que a pessoa tenha certeza de que vai conseguir
desbloquear o aparelho, ela vai precisar experimentar 171 códigos
diferentes.
Autor
Epifania Matemática a solução está correta.
Parabéns!!!
A afirmativa III indica que o primeiro digito não pode ser 1, 2 ou 3, porque dai não teria linha superior para o segundo e terceiro digito. Então o primeiro digito pode estar na linha 4, 5, 6 ou 7, 8, 9 ou 0. Caso o primeiro e ultimo digito se encontrem na linha 0, teremos 1*3*3*1 = 9 possibilidades de senhas, sendo que esse 1 representa o numero 0 e o 3 representa as possibilidades 7, 8 e 9.
Outro caso seria se o primeiro digito fosse da linha 7, 8, 9, dai teríamos 3*3*3*3 = 81 possibilidades para a senha. Esse segundo caso pode ocorre na linha mencionada ou na linha 4, 5, 6. Então o total de possibilidades pode ser expresso por:
1*3*3*1 + 2(3*3*3*3) = 9 + 162 = 171 possibilidades de senhas.
Autor
Parabéns, Pentágono do Millennium.
Solução correta!