PROBLEMA
Os poliminós são pecinhas formadas por quadradinhos de mesmo lado, usadas em jogos e quebra-cabeças. Os nomes dos poliminós são indicados pelo número de quadradinhos usados para montá-los. Por exemplo, os dominós são formados por dois quadradinhos e os pentaminós são formados por cinco quadradinhos. As figuras a seguir mostram um dominó formado por dois quadradinhos de lado [tex]L[/tex] inscrito num retângulo de dimensões [tex]10 \times 11[/tex]. Vamos mostrar como determinar a medida [tex]L[/tex].
a) Traçam-se linhas horizontais e verticais passando pelos vértices que formam o dominó. Assim, são formados [tex]6[/tex] triângulos retângulos com lados [tex]x, y[/tex] e [tex]L[/tex]. A partir dos comprimentos dos segmentos horizontais, [tex]y+2x=10[/tex]. Quanto vale [tex]2y+x[/tex]?
b) Mostre que a área do retângulo grande é igual a [tex]2L^2+5xy[/tex].
c) Calcule [tex]x, y[/tex] e [tex]L[/tex].
Mas se não conseguirem, não faz mal. A partir do dia 21, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala Problemas de 2023: Dicas, Orientações e Dúvidas do nosso Fórum.
Lá vocês encontrarão Dicas e Orientações para tentarem resolver o problema e também poderão postar as suas dúvidas para que os nossos Moderadores possam lhes ajudar.
Resolvido o problema, vocês podem postar suas soluções no Blog para que todos tenham acesso a elas!
Bons estudos, pessoal!
6 comentários
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A) [tex]2y+x[/tex] equivale ao comprimento vertical do retângulo, que possui o valor de [tex]11[/tex], como diz o enunciado.
B)A área do retângulo é determinado pela fórmula:[tex]bh[/tex]. A base vale [tex] 2x+y[/tex] e a altura vale[tex]2y+x[/tex], então:
[tex](2x+y)(2y+x)[/tex]
Realizando a propriedade distributiva :
[tex]4xy+2x²+2y²+xy=5xy+2x²+2y²[/tex]
Agora, analisando o triângulo retângulo formado e realizando Pitágoras, chegamos na relação:
[tex]x²+y²=L²[/tex]
Reescrevendo a primeira expressão, colocando o 2 em evidência:
[tex]2(x²+y²)+5xy[/tex]
Substituindo o interior do parênteses:
[tex]A=2L²+5xy[/tex]
C) Com base nas informações das letras anteriores, chegamos a duas equações com duas incógnitas:
[tex] 2x+y=10[/tex]
[tex]x+2y=11[/tex]
Multiplicando a segunda equação por 2 e subtraindo da primeira:
[tex]2x+4y=22[/tex]
[tex]2x+y=10[/tex]
[tex]3y=12[/tex]
[tex]y=4[/tex]
Substituindo o valor de y:
[tex]2x+4=10[/tex]
[tex]x=3[/tex]
E agora realizando o Pitágoras descobrimos que :
[tex]3²+4²=L²[/tex]
[tex]L=5[/tex]
Autor
Parabéns pela solução.
A) Observando a figura, 2Y+ X é a medida do lado vertical do retângulo que possui o valor 11. Logo, 2Y + X= 11.
B) A área so retângulo é calculada por:
A= B×H
Sendo B= 2X + Y e H= 2Y + X.
A área será de:
4XY + 2X^2 + 2Y^2 + XY = 5XY + 2X^2 + 2Y^2
Analisando o triângulo retângulo existente e usando o teorema de pitágoras, temos:
X^2 + Y^2 = L^2
Reescrevendo a primeira expressão e pondo o 2 em evidência :
2(X^2 + Y^2) + 5XY…. Substituindo as icógnitas dos parênteses, temos que:
2L^2 + 5XY = Área do retângulo grande.
C) Usando as informações das alternativas A e B, vamos usar alguns sistemas de equação e o teorema de Pitágoras para resolver a questão.
2X + Y =10
X +2Y =11 (×2)
Subtraíndo a segunda equação pela primeira teremos:
3Y =12
Y = 12/3
Y =4
Substituíndo Y, teremos:
X + 2Y = 11
X + 2.4 = 11
X + 8 =11
X =11-8
X =3
Usando o teorema de Pitágoras, teremos:
X^2 + Y ^2 =L^2
3^2 + 4^2 =L^2
9 + 16 =L^2
25 =L^2
√25 = L
5 = L
Autor
Ótima solução.
bem pra responder a alternativa A foi necessário apenas observa que nas duas figuras os lados eram iguais ou seja 2y+x = 11,
já na letra B é ainda mais fácil uma vez que 2L² representa os dois quadrados de lado L, e os 5xy representa a soma dos triângulos e retângulos que complementam a figura, por fim na letra C temos que pra acharmos o valor de x e y basta realizarmos algumas contas uma possibilidade é fazer um sistema de equações e subtrair as seguintes equações 4Y+2X=22 – (Y+2X=10), resolvendo esse sistema de equação temos Y=4 , X=3 e por fim como L é a hipotenusa de um triângulo retângulo com seus catetos medindo 3 e 4 , então L vale 5
Autor
Suas respostas estão certas, mas é necessário que organize suas respostas:
a)
b)
c)
Além disso, na resposta da letra b vocês não escreveram que o resultado final é 2L^2+5xy, mas entendemos o raciocínio.
Da próxima vez, prestem mais atenção nesses pontos.