PROBLEMA
No início de um experimento, um pesquisador analisou uma população com [tex]101[/tex] indivíduos. Após [tex]t[/tex] anos, a população passou a ser de [tex]181[/tex] indivíduos e, depois de [tex]t^{2}[/tex] anos da análise inicial, a população passou para [tex]6661[/tex] indivíduos. A função [tex]y=b^{x}+c[/tex] com [tex]b\gt 1[/tex], determina o crescimento da população após [tex]x[/tex] anos.
Encontre os valores de [tex]b[/tex], [tex]c[/tex] e [tex]t[/tex].
Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema.
Mas se não conseguirem, não faz mal. A partir do dia 28, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala Problemas de 2023: Dicas, Orientações e Dúvidas do nosso Fórum.
Lá vocês encontrarão Dicas e Orientações para tentarem resolver o problema e também poderão postar as suas dúvidas para que os nossos Moderadores possam lhes ajudar.
Resolvido o problema, vocês podem postar suas soluções no Blog para que todos tenham acesso a elas!
Mas se não conseguirem, não faz mal. A partir do dia 28, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala Problemas de 2023: Dicas, Orientações e Dúvidas do nosso Fórum.
Lá vocês encontrarão Dicas e Orientações para tentarem resolver o problema e também poderão postar as suas dúvidas para que os nossos Moderadores possam lhes ajudar.
Resolvido o problema, vocês podem postar suas soluções no Blog para que todos tenham acesso a elas!
Bons estudos, pessoal!
6 comentários
Pular para o formulário de comentário
Como no instante [tex]x=0[/tex] a população tinha 101 indivíduos, substituindo na função temos:
[tex]101=b^0+c=>101=1+c=>c=100[/tex]
Com isso podemos montar a relação quando [tex]x=t => y=181[/tex] e quando [tex]x=t^2 => y=6661[/tex], dadas no enunciado:
[tex]181=b^t+100 => b^t=81 =>b=81^{\dfrac{1}{t}}[/tex] (i)
[tex]6661=b^{t^2}+100=>b^{t^2}=6561[/tex] (ii)
Substituindo o valor de b encontrado em (i) na (ii), temos:
[tex](81^{\dfrac{1}{t}})^{t^2}=6561=>81^t=6561[/tex]
Escrevendo tudo na base 3 temos:
[tex](3^4)^t=3^8=>4t=8=>t=2[/tex]
Logo t=2, substituindo o valor de t em (i), temos:
[tex]b=81^{\dfrac{1}{2}}=>b=\sqrt{81}=>b=9[/tex]
PORTANTO [tex]b=9; c=100; t=2[/tex].
Autor
SUPER GÊNIOS 3°CPM, solução correta!
Parabéns pela participação.
A população inicial pode ser calculada quando x = 0, então temos:
y = b^0 + c
101 = 1 + c
c = 100
Após t anos, a população passou a ser 181 indivíduos, assim, temos:
181 = b^t + 100
b^t = 81
Após t² anos, a população passou a ser de 6661 indivíduos, assim, temos:
6661 = b^t² + 100
Podemos escrever b^t² como (b^t)^t e sabemos que b^t = 81, então:
6661 = (b^t)^t + 100
6561 = 81^t
Podemos escrever 81 como 3^4, assim temos: 81^t = 3^4t e 6561 pode ser escrito como 3^8, então:
3^8 = 3^4t
8 = 4t
t = 2
b^t = 81
b² = 81
b = 9
Autor
Parabéns, Obmépicos.
Solução correta!
O inicio do experimento correspondera ao ano zero, então teremos que:
101 = b^0 + c
Como todo numero elevado a zero é igual a 1:
101 = 1 + c
101 – 1 = c
Portanto, c = 100
Depois disso podemos substituir o x por t anos e y por 181 que foi dado no enunciado:
181 = b^t + 100
181 – 100 = b^t
b^t = 81
Com essa igualdade estabelecida ficamos “travados” nesse ponto e é necessário partir para a terceira igualdade:
6661 = b^t² + 100
6661 – 100 = b^t²
b^t² = 6561
Substituindo b^t, temos que
81^t = 6561
Agora é necessário colocar tudo na mesma base, e faremos isso com a base 3.
3^(4*t) = 3^8
4t = 8
t = 2
Voltando na relação que foi obtida anteriormente, podemos obter o valor de b
b^t = 81
b^2 = 81
b = 9
Então concluímos que: c = 100, t = 2, b = 9
Autor
Pentágono do Millennium, a solução está correta!
Parabéns.