PROBLEMA
Considere uma progressão aritmética cujos três primeiros termos são dados por [tex]a_1 = x-1, a_2 = 5x, a_3 = 2x^2+1[/tex], em que [tex]x[/tex] é um número real.
a) Determine os possíveis valores de [tex]x[/tex].
b) Calcule a soma dos [tex]100[/tex] primeiros termos da progressão aritmética correspondente ao menor valor de [tex]x[/tex] encontrado no item a).
Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema.
Mas se não conseguirem, não faz mal. A partir do dia 7, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala Problemas de 2023: Dicas, Orientações e Dúvidas do nosso Fórum.
Lá vocês encontrarão Dicas e Orientações para tentarem resolver o problema e também poderão postar as suas dúvidas para que os nossos Moderadores possam lhes ajudar.
Resolvido o problema, vocês podem postar suas soluções no Blog para que todos tenham acesso a elas!
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Bons estudos, pessoal!
2 comentários
A) Para calcular o valor de X, temos que:
a2-a1 = a3-a2
5X-(X-1) = 2X^2+1-5X
4X+1 = 2X^2+1-5X
2X^2+1-5X-4X-1 = 0
2X^2-9X = 0
Usando bhaskara, teremos:
X(2X-9) = 0
Logo, X’= 0
2X-9 = 0
2X = 9
X = 9/2 ou 4,5
Logo, X” = 9/2 ou 4,5.
Portanto, os possíveis valores de X são 0 e 9/2.
B) Para Calcular a soma dos 100 primeiros termos da progressão aritmética correspondente ao menor valor de x, que é 0, precisamos encontrar o valor do centésimo termo.
Substituindo X por 0 temos, a1= 0-1 = -1, a2= 5×0 = 0 e a3= 2.0^2+1 = 1…A razão da PA = 1.
Substituindo na fórmula, temos:
An=a1+(n-1).r
An=-1+(100-1).1
An=-1+99.1
An= -1+99
An= 98
Logo, a100= 98.
Usando a soma de Gauss, temos que:
-1+0+1+….+98
-1+(98)= 97
…
Como há 100 termos, teremos 50 duplas com soma 97.
Portanto, a soma dos 100
100 primeiros termos da progressão aritmética correspondente ao menor valor de x encontrado no item a) é 50×97 = 4850.
Autor
Parabéns, Obmépicos! Solução correta.