set 04

Bagunça no estacionamento

PROBLEMA

Ana, Beatriz, Carlos, Daniel e Eduarda moram no mesmo condomínio e cada um deles possui uma vaga de estacionamento referente ao número do seu apartamento. Certo dia, ao retornarem do trabalho, resolveram estacionar seus carros nas vagas de forma aleatória, ou seja, não obrigatoriamente na vaga de seu apartamento. De quantos modos possíveis eles podem ter estacionado seus carros sabendo que apenas uma das pessoas ocupou a vaga correta?

Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema.
Mas se não conseguirem, não faz mal. A partir do dia 7, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala Problemas de 2023: Dicas, Orientações e Dúvidas do nosso Fórum.
Lá vocês encontrarão Dicas e Orientações para tentarem resolver o problema e também poderão postar as suas dúvidas para que os nossos Moderadores possam lhes ajudar.
Resolvido o problema, vocês podem postar suas soluções no Blog para que todos tenham acesso a elas!

Bons estudos, pessoal!

Link permanente para este artigo: http://clubes.obmep.org.br/blog/2023/09/bagunca-no-estacionamento/

10 comentários

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  1. Primeiramente, observe que existem 5 vagas, as quais qualquer uma pode ser a preenchida pelo carro que estará na sua devida vaga.
    Para os 4 carros restantes, cada um deles não deve estar em sua vaga, isso é, um desarranjo entre esses 4 carros e as 4 vagas. Portanto temos um total de:
    [tex]4!(\dfrac{1}{0!}-\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}-\dfrac{1}{3!}+\dfrac{1}{4!})=24(\dfrac{9}{24})=9[/tex] maneiras desse desarranjo.
    Por fim basta multiplicar o desarranjo pelas 5 maneiras do carro que correspondeu à sua vaga:
    [tex]5.9=45[/tex] modos possíveis em que estacionaram seus carros sabendo que apenas uma das pessoas ocupou a vaga correta.

    1. Parabéns, SUPER GÊNIOS 3°CPM! Solução correta.

  2. Isso pode ser resolvido usando o princípio da inclusão-exclusão. O número total de maneiras de estacionar os carros é 5! = 120. No entanto, isso inclui casos em que mais de uma pessoa estacionou na vaga correta. Portanto, precisamos subtrair esses casos.

    Existem C(5,2) = 10 maneiras de escolher duas pessoas para estacionar nas vagas corretas e 3! = 6 maneiras de as outras três pessoas estacionarem seus carros. Portanto, existem 10 * 6 = 60 casos em que duas pessoas estacionaram nas vagas corretas.

    Existem C(5,3) = 10 maneiras de escolher três pessoas para estacionarem nas vagas corretas e 2! = 2 maneiras de as outras duas pessoas estacionarem seus carros. Portanto, existem 10 * 2 = 20 casos em que três pessoas estacionaram nas vagas corretas.

    Existem C(5,4) = 5 maneiras de escolher quatro pessoas para estacionarem nas vagas corretas e apenas uma maneira da última pessoa estacionar seu carro. Portanto, existem 5 * 1 = 5 casos em que quatro pessoas estacionaram nas vagas corretas.

    Finalmente, existe apenas um caso em que todas as cinco pessoas estacionaram nas vagas corretas.

    Usando o princípio da inclusão-exclusão, temos: 120 – (60 – (20 – (5 – 1))) = 44.

    1. Caros membros do clube CF GAUSS, será que, na contagem, vocês não estão considerando alguns casos mais de uma vez? Sugerimos que tentem novamente.

  3. Bom, não conseguimos pensar em uma maneira mais fácil de fazer, então para não deixar passar separamos em todas as possíveis formas de ocuparem as vagas.

    Vamos chamar Ana, Beatriz, Carlos, Daniel e Eduarda, de A, B, C, D e E, respectivamente.

    Começando com A ocupando a sua vaga temos 9 possibilidades : ( a ordem das vagas estão na ordem dos nomes A, B, C, D e E)

    A C B E D, A C D E B, A C E B D, A D B E C, A D E B C , A D E C B, A E B C D, A E D C B, A E D B C,

    Com B ocupando sua própria vaga temos mais 9 possibilidades:

    C B A E D, C B D E A, C B E A D , D B A E C, D B E A C, D B E C A, E B A C D, E B D A C, E B D C A,

    Com C ocupando sua própria vaga temos outras 9 possibilidades :

    B A C E D, B D C E A, B E C A D, D A C E B , D E C A B , D E C BA , E A C B D , E D C A B , E D C B A ,

    Com D ocupando a própria vaga temos outras 9 possibilidades:

    B A E D C, B E A D C, B C E D A, C A E D B, C E B D A, C E A D B, E A B D C, E C A D B, E C B A,

    Com E ocupando a própria vaga temos outras 9 possibilidades:

    B C D A E, B D A C E, B A D C E, C A D B E, C D A B E, C D B A E, D A B C E, D C B A E, D C A B E

    Assim descobrimos que existem 5 x 9= 45 modos possíveis .

    1. Parabéns, FIBONACCI! Resposta correta!

  4. Usando a combinação, temos um total de:
    4!(1/0!−1/1!+1/2!−1/3!+1/4!)=24x(9/24)=9 maneiras de desarranjo.
    Porém, qualquer um dos cinco moradores pode ocupar a vaga correta, logo, se têm 5×9=45 modos possíveis de estacionar os carros sabendo que apenas uma das pessoas ocupou a vaga certa.

    1. Caros Obmépicos, quando vocês realizam o cálculo 4!(1/0!−1/1!+1/2!−1/3!+1/4!)=24x(9/24)=9, ele se refere ao quê? A quais desarranjos estão se referindo? É importante detalhar a solução, para que os demais possam entender o raciocínio. Vamos tentar novamente?

      1. Refere-se a um desarranjo entre os 4 carros e as 4 vagas, que tem que ser preenchidas incorretamente.

        1. Isso quando se considera que um dos carros está ocupando a vaga correta? É importante detalhar a solução.

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