PROBLEMA
No plano cartesiano a seguir, no qual os eixos estão graduados em quilômetros, estão representados os gráficos da função [tex]f: \left[ 0,\dfrac{5}{2} \right] \rightarrow \mathbb{R}[/tex], definida por [tex]f(x)=\dfrac{-1}{2}x^{2}+\dfrac{5}{2}x[/tex], e da função afim [tex]g: \left[ \dfrac{5}{2}, 5 \right] \rightarrow \mathbb{R}[/tex], cujo coeficiente angular é [tex]- \dfrac{5}{4}[/tex].
O retângulo [tex]ABCD[/tex] tem os vértices [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] sobre o eixo das abscissas e os vértices [tex]C[/tex] e [tex]D[/tex] sobre os gráficos das funções [tex]g[/tex] e [tex]f[/tex] respectivamente, e ambos possuem ordenadas iguais a [tex]2[/tex].
Qual é a medida da área desse retângulo, em quilômetros quadrados?
Mas se não conseguirem, não faz mal. A partir do dia 28, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala Problemas de 2023: Dicas, Orientações e Dúvidas do nosso Fórum.
Lá vocês encontrarão Dicas e Orientações para tentarem resolver o problema e também poderão postar as suas dúvidas para que os nossos Moderadores possam lhes ajudar.
Resolvido o problema, vocês podem postar suas soluções no Blog para que todos tenham acesso a elas!
Bons estudos, pessoal!
4 comentários
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Para descobrirmos a área do retângulo primeiramente temos que descobrirmos os valores de [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex].
Como [tex]A[/tex] é a abscissa do ponto [tex]D[/tex] que pertence à função [tex]f[/tex], e sua ordenada é [tex]2[/tex]. Como a função [tex]f[/tex] é dada por [tex]y=\dfrac{-1.x^2+5x}{2}[/tex], podemos concluir que:
[tex]2=\dfrac{-1.x^2+5x}{2}=>-x^2+5x-4=0[/tex]. Aplicando-se bhaskara, temos que [tex]x[/tex] equivale a:
[tex]x’=\dfrac{-5+\sqrt{5^2-4.-1.-4}}{2.-1}=>[/tex] resolvendo-se temos [tex]x’=2 [/tex] que pertence ao intervalo citado.
[tex]x”=\dfrac{-5-\sqrt{5^2-4.-1.-4}}{2.-1}=> [/tex]resolvendo-se temos [tex]x’=4[/tex] que não pertence ao intervalo citado.
Logo [tex]A[/tex] se encontra na coordenada [tex](2 , 2) [/tex]
Já para encontrarmos a abscissa do ponto [tex]C[/tex] (o ponto [tex]B[/tex]) temos que trabalhar na função [tex]g(x)=ax+b[/tex], como [tex]a=\dfrac{-5}{4}[/tex] temos que, como a reta intersecta o eixo [tex]x[/tex] em[tex] x=5[/tex], podemos formar a seguinte equação:
[tex]g(5)=\dfrac{-5}{4}.5+b => 0=\dfrac{-25}{4}+b => b=\dfrac{25}{4}[/tex]
Com isso, podemos concluir que a abscissa do ponto [tex]C[/tex] é:
[tex]g(x)=\dfrac{-5}{4}.x+\dfrac{25}{4} => 2.4=-5x+25 => 5x=17 => x=\dfrac{17}{5}[/tex]
Logo a distância de [tex]A[/tex] a [tex]B[/tex] é de [tex]\dfrac{17}{5}-1=\dfrac{12}{5}[/tex], e a área de [tex]ABCD[/tex] é de [tex]\dfrac{12}{5}.2=\dfrac{24}{5}=4,8 km^2[/tex].
Autor
SUPER GÊNIOS 3°CPM, verifiquem o cálculo para as coordenas do ponto A.
Acredito que tenha sido um erro de digitação, pois no final a solução está correta.
Para descobrirmos a área do retângulo, temos que descobrir os valores A e B.
A é a abscissa do ponto D que pertence à função f e sua ordenada é 2. A função f
é dada por y=−1.x^2+5x/2, podemos concluir que:
2= −1.x^2+5x/2 => -x^2+5x-4= 0. Ao aplicarmos a fórmula de bhaskara, teremos que:
x′=2 que pertence ao intervalo citado.
e
x´´=4 que não pertence ao intervalo citado.
Portanto, A está na coordenada (2,2).
Para encontrarmos a abscissa do ponto C (que é o ponto B
) temos que trabalhar na função g(x)=ax+b, como a=−5/4 , temos que, como a reta intersecta o eixo x em 5, logo teremos:
g(5)=(−5/4).5+b=> 0= ( −25/4)+b=> isolando o b e fazendo o jogo de sinais, teremos:
b=25/4
g(x)=(−5/4).x+(25/4)=>2.4=−5x+25=>5x=17=> Portanto, x=17/5.
Logo a distância de A até B é de (17/5)-1=(17-5) /5= 12/5.
Então, a área ABCD será de (12/5).2= 24/5= 4,8 KM^2.
Autor
Mais uma solução correta, Obmépicos!
Parabéns.