ago 13

Volume da peça

PROBLEMA

Um cilindro possui água até a metade de sua capacidade. Uma peça metálica é jogada no interior do cilindro e o nível da água sobe [tex]3,5 \text{ cm}[/tex]. Se o diâmetro do cilindro for de [tex]8\text{ cm}[/tex], qual é o volume da peça?

Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema.
Mas se não conseguirem, não faz mal. A partir do dia 17, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala Problemas de 2023: Dicas, Orientações e Dúvidas do nosso Fórum.
Lá vocês encontrarão Dicas e Orientações para tentarem resolver o problema e também poderão postar as suas dúvidas para que os nossos Moderadores possam lhes ajudar.
Resolvido o problema, vocês podem postar suas soluções no Blog para que todos tenham acesso a elas!

Bons estudos, pessoal!

Link permanente para este artigo: http://clubes.obmep.org.br/blog/2023/08/volume-da-peca/

9 comentários

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  1. Visto que diâmetro = 2×Raio
    Logo raio = 4
    Sendo que o volume do cilindro é 16π×altura
    E o volume da água e 16π×altura÷2 e segundo o enunciado o nível da água aumentou 3,5 cm então
    Volume da água+peça= 16π(altura÷2+ 3,5)
    Sendo assim o volume dessa peça metálica equivale a 56π pois já sabemos que a água possui volume igual a 8π×altura

    Em relação ao torneio tem sala de dúvidas?
    Porque tem algumas coisas que precisa de representação visual(imagem) pra complementar o material e também alguns símbolos matemáticos mas no caso dos símbolos posso deixar os comandos em LaTeX exemplo:
    ( \sum_{i=1}^{q}(S_i)=V) ou descrever os símbolos ?

    1. Muito bom, Os Somados! Sobre a dúvida de vocês no Torneio, a coordenadora irá responder.

    2. I- Dúvidas sobre o Torneio podem ser postadas:

      ou enviadas para o e-mail da Coordenação do Projeto: clubes@obmep.org.br.

      II – As imagens relativas às atividades do Torneio devem ser colocadas nos respectivos Relatórios Finais, nas posições naturais nas quais elas aparecem nos desenvolvimentos, conforme exemplos que enviamos em mensagens para os Líderes e Orientadores.

      III – Como a digitação e formatação de um material devem produzir uma visualização a mais próxima possível de como o Clube gostaria que o material fosse publicado no Blog, sugerimos não escrever os símbolos matemáticos utilizando códigos do LaTeX. Se a digitação e formatação do material forem feitas utilizando o Word, use o Editor de Equações deste processador de texto.

  2. O volume de um cilindro é calculado pela multiplicação entre a área da base e a sua altura ([tex]h[/tex]). Nesse sentido, como a base de um cilindro é formada por um círculo, a área da base pode ser calculada da seguinte forma: [tex]\pi\cdot r^2[/tex]. Partindo disso, podemos representar o volume do cilindro como: [tex]V = \pi\cdot r^2\cdot h[/tex]. O enunciado pede para calcularmos o volume da peça metálica jogada dentro do cilindro, o qual está preenchido pela metade com água. Para isso, precisamos calcular o volume inicial da água presente no cilindro e depois subtrairmos do volume apresentado após a inserção da peça metálica. Essa diferença será o volume da peça. De acordo com o enunciado, a base do cilindro apresenta [tex]8cm[/tex] de diâmetro, logo, o seu raio mede [tex]4cm[/tex]. Utilizaremos para a altura o nível que a água atinge inicialmente, sendo representada por ([tex]h[/tex]). Seguindo essa lógica, o cálculo do volume da água inicial ficará da seguinte forma:

    [tex]V1=\pi\cdot4^2\cdot h=16\pi\cdot h[/tex].

    Agora calculamos o volume da água depois que a peça metálica foi inserida, utilizando a altura anterior somada ao aumento de [tex]3,5cm[/tex] do nível da água depois da inserção da peça, ficando:

    [tex]V2=\pi\cdot4^2 \cdot (h+3,5)=16\pi h+56\pi cm^3[/tex].

    Por fim, basta fazermos a diferença entre os volumes:

    [tex]Vpeca=V1+V2=16\pi h-16\pi h+56\pi=56\pi cm^3[/tex].

    Temos, portanto, que o volume da peça metálica é igual a [textarea][tex]56\pi cm^3.[/tex][/textarea].

    1. Muito bem, União Fibonacci!!

  3. Como o diâmetro do cilindro mede 8 cm, o raio mede 4 cm. O volume do cilindro é dado por V=π⋅r^2⋅h.
    Assim, quando colocamos 4, que é o raio, ao quadrado, teremos 16π.h.
    Sabemos que o cilindro possui uma altura, que damos por h, e que a metade do volume total do cilindro, está coberto por água, somado a 3,5 cm^3, quando colocada a peça de metal. Assim, ficamos com:
    16π. ( h/2 + 3,5), assim quando multiplicamos 16 x 3,5 = teremos 56π cm^3.
    Já que a altura, é anulada pela divisão por 2.

    1. Olá, Obmépicos! Muito bom! Não entendi muito bem a última frase. Mas está correta a resposta.

  4. Vamos dividir a altura do cilindro em 2x sendo assim o volume da água que está no cilindro (volume 1) é de πr²h = 4²πx = 16πx.

    Depois de adicionada a peça, a altura da água será de x + 3,5 e seu volume (volume 2) sera de πr²h = 16π(x+3,5) = 16πx + 56π

    Como o volume 1 =16πx cm³ e o volume 2 =16πx + 56π cm ³, concluímos que o volume que foi ocorrido do volume 1 corresponde ao volume da peça de aço metálico, ou seja, 56π

    1. Muito bem, FIBONACCI!

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