PROBLEMA
O primeiro termo de uma progressão geométrica de números reais é [tex]1[/tex] e a soma de seus primeiros [tex]79[/tex] termos é igual ao produto de seus primeiros [tex]13[/tex] termos. Determine:
a) a soma dos [tex]40[/tex] primeiros termos;
b) o produto dos [tex]7[/tex] primeiros termos.
Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema.
Mas se não conseguirem, não faz mal. A partir do dia 10, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala Problemas de 2023: Dicas, Orientações e Dúvidas do nosso Fórum.
Lá vocês encontrarão Dicas e Orientações para tentarem resolver o problema e também poderão postar as suas dúvidas para que os nossos Moderadores possam lhes ajudar.
Resolvido o problema, vocês podem postar suas soluções no Blog para que todos tenham acesso a elas!
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Bons estudos, pessoal!
6 comentários
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Ao tratar da soma de termos em uma progressão geométrica, temos que:
[tex]S_n = a_1 + a_2 + … + a_n[/tex], onde [tex]a_n = a_1 \times q^{n-1}[/tex] para [tex]a_1 = 1[/tex]
Logo, [tex]S_{79} = \dfrac{1 – q^{79}}{1 – q}[/tex]. Ou seja, a soma dos 79 termos é igual a [tex]q^{78}[/tex]
Por conseguinte, ao tratar do produto de termos em uma progressão geométrica, temos que:
[tex]P_{13} = q^{1 + 2 + 3 … + 12}[/tex], ou seja, [tex]P_{13} = q^{78}[/tex]
Estabelecendo a relação de igualdade indicada no enunciado, obtemos:
[tex]\dfrac{1 – q^{79}}{1 – q} = q^{78}[/tex]. Para isso, [tex]q^{78} = 1[/tex] e [tex]q = ±1[/tex], tendo como única solução real [tex]q[/tex] para [tex]-1[/tex] já que o valor positivo anula o denominador na soma dos primeiros 79 termos
a) [tex]S_{40} = \dfrac{1 (-1^{40} – 1)}{- 1 – 1} = \dfrac{1(0)}{-2} = 0[/tex]
b) [tex]P_7 = -1^{1+2+…6} = -1^{21} = -1[/tex]
Autor
Solução correta, Puzzlers πrados.
s40=A×(r^40-1)÷(r-1)
S40=(r^40-1)÷(r-1)
P7=a^7 × r^(7 × 6 ÷ 2)
P7=r^21
S79=p13
(r^79-1)÷(r-1)=r^78
R^79 – r^79 = r^78
R^79 – r^79 = r^78-1
0= r^78-1
R^78=1
Na formula de S40 o valor não poder ser o 1 então seria 0
S40 = (r^40 – 1) / (r – 1)
S40 = ((-1)^40 – 1) / ((-1) – 1)
S40 = (1 – 1) / (-2)
S40 = 0 / (-2) = 0
P7=-1^21
P7=-1
Autor
Solução correta, DLPL JIPA. Parabéns! Sugerimos apenas que tomem mais cuidado ao escrever as soluções. Nessa solução, em algumas partes vocês usaram r para denotar a razão, mas em outras, usaram R. É sempre bom padronizar.
A) Quando falamos da soma dos termos de uma PG, temos:
An= A1+A2+A3…+An
Logo, a S40=
S40=A . (x^40-1)÷(x-1)
S40=(x^40-1)÷(x-1)
P7=a^7 . x^(7 × 6/2)
P7=x^21
S79=P13
(x^79-1)/(x-1)=x^78
x^79 – x^79 = x^78
x^79 – x^79 = x^78-1
0= x^78-1
x^78= para x = +1 ou -1.
tendo como única solução real para x = -1,
já que o valor positivo anula o denominador na soma dos primeiros 79 termos.
Então a soma dos 40 primeiros ternos é igual a:
S40= 1 ( -1⁴⁰ – 1 )/ -1-1
S40= 1 (0)/ -2
S40= 0/2
S40= 0
B) P7= -1^1+2+3…+6 = -1^21 = -1.
Autor
Parabéns, Obmépicos. A solução está correta.