PROBLEMA
Conta uma lenda que Pitágoras (569 a.C. – 480 a.C., aproximadamente) despertou sua curiosidade em relação à música quando, ao passar em frente à oficina de um ferreiro, ouviu o som de cinco martelos batendo em uma bigorna e percebeu que os martelos soavam harmonicamente, exceto um. Curioso, ele tentou estabelecer uma relação entre os martelos que eram harmônicos e, para pesquisar os sons correspondentes às relações que observou, Pitágoras construiu um monocórdio: uma caixa de ressonância sobre a qual era estendida uma única corda presa a dois cavaletes.
A partir de divisões feitas na corda, ele observou que o som produzido pressionando metade da corda era o mesmo, porém mais agudo, que o som produzido pela corda inteira: ou seja, pressionando a corda na metade, se produzia o som no que chamamos de “uma oitava acima”.
Hoje, sabemos que o som é uma onda, e cada nota é dada por uma onda que oscila com certa frequência. O hertz (símbolo Hz) é a unidade de medida SI para frequência e expressa, em termos de ciclos por segundo, a frequência de um evento periódico. Assim, se uma onda sonora completar 100 oscilações em 1 segundo, por exemplo, sua frequência será de 100 Hz.
Então, a experiência de Pitágoras significa que, quando uma frequência é multiplicada por 2, a nota permanece a mesma. Por exemplo, a frequência da nota Lá (440 Hz) multiplicada por 2 é também uma nota Lá (880 Hz), só que uma oitava acima (um Lá mais agudo).
Na música ocidental, em uma oitava (por exemplo, entre duas notas Dó consecutivas), há 12 intervalos chamados de semitons.
Fonte: musicaeadoracao.com.br.
As frequências de duas notas consecutivas (isto é, cuja distância é de 1 semitom) se relacionam da seguinte forma: a frequência da segunda é a frequência da primeira multiplicada por uma constante [tex]c[/tex]. Qual o valor de [tex]c[/tex]?
Mas se não conseguirem, não faz mal. A partir do dia 17, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala Problemas de 2023: Dicas, Orientações e Dúvidas do nosso Fórum.
Lá vocês encontrarão Dicas e Orientações para tentarem resolver o problema e também poderão postar as suas dúvidas para que os nossos Moderadores possam lhes ajudar.
Resolvido o problema, vocês podem postar suas soluções no Blog para que todos tenham acesso a elas!
Bons estudos, pessoal!
8 comentários
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Em uma nota dó, diremos que tenha frequência [tex]x[/tex]; a frequência da próxima nota (da esquerda para direita) será então [tex]xc[/tex], a próxima nota terá frequência [tex]xc^2[/tex], a próxima, [tex]xc^3[/tex]… e assim por diante até a frequência [tex]xc^{12}[/tex], que ocupa a 13º tecla. Como há 12 intervalos de semitons entre essas notas, a 13º nota também será dó e, portanto, será uma oitava acima a nota dó anterior. Como a frequência é dobrada em uma oitava, logo a 13º nota terá frequência igual a [tex]2x[/tex]. Temos então que:
[tex]xc^{12} = 2x[/tex]
[tex]c^{12}=\dfrac{2x}{x}[/tex]
[tex]c^{12}=2[/tex]
[tex]c=\sqrt[12]{2}[/tex]
Autor
Muito bem, União Fibonacci!!
Se a razão entre a frequência de duas notas consecutivas é c, sabemos que [tex]c^{12} = 2[/tex], pois a razão entre a frequência de duas notas a uma oitava (12 semitons) de distância é 2, logo [tex]c = \sqrt[12]{2} [/tex].
Autor
Muito bom, Os Últimos Alunos de Fermat!
Como dito no enunciado, a razão entre duas notas consecutivas é igual a C e em uma oitava (por exemplo, entre duas notas Dó consecutivas), há 12 intervalos. Logo, C¹² = 2; Portanto, C = ¹²√2.
Autor
Muito bom, Obmépicos!!
como o enunciado nos diz a razão entre duas notas consecutivas é igual a C, e na oitava nota acontecerá 12 intervalos (entre duas notas consecutivas, por exemplo entre as duas notas dó consecutivas) então podemos chegar a conclusão que C ¹²=2
logo C=¹²√2
Autor
Parabéns, FIBONACCI!