PROBLEMA
Na figura a seguir, temos duas placas triangulares regulares (triângulos equiláteros) [tex]ABC[/tex] e [tex]A’B’C'[/tex] que possuem o mesmo baricentro [tex]G[/tex], tais que [tex]AB//A’B'[/tex], [tex]AC//A’C'[/tex] e [tex]BC//B’C'[/tex].
Se a medida dos lados de [tex]ABC[/tex] é igual a [tex]3 \cdot \sqrt{3}[/tex] cm e a distância entre os lados paralelos mede [tex]2[/tex] cm, qual a medida das alturas da placa [tex]A’B’C'[/tex]?
Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema.
Mas se não conseguirem, não faz mal. A partir do dia 24, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala Problemas de 2023: Dicas, Orientações e Dúvidas do nosso Fórum.
Lá vocês encontrarão Dicas e Orientações para tentarem resolver o problema e também poderão postar as suas dúvidas para que os nossos Moderadores possam lhes ajudar.
Resolvido o problema, vocês podem postar suas soluções no Blog para que todos tenham acesso a elas!
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Bons estudos, pessoal!
9 comentários
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Pensamos assim: Considerando M’ o Ponto médio de A’B’, e M o ponto médio de AB, queremos encontrar a medida do segmento M’C’.
Como o ponto G é o baricentro dos dois triângulos, temos que M’C’ = 3 x M’G e que M’G = 2 + MG.
Encontrando MG e consequentemente M’G:
Como o lado do triângulo ABC é 3√3, pela fórmula da altura de um triângulo (H = L√3/2), temos que H = 3√3 x √3/2 = 9/2.
Sabendo que G é baricentro de ABC, temos que MG = H/3. Logo, teremos MG = 3/2 e, consequentemente, M’G = 3/2 + 2 = 7/2.
Como explicamos, M’C’ = 3 x M’G, teremos M’C’ = 3 x 7/2
Portanto, a altura do triângulo A’B’C’ será M’C’ = 21/2 = 10.5cm
Tá certo? (;
Autor
Está correto sim. Show!
Autor
Está correto sim. Show!
Primeiramente, colocamos um ponto médio (X’) entre A’B’, e (X) em AB.
Os lados de ABC é igual a 3⋅√3 cm e a distância entre os lados paralelos mede 2 cm, logo XC’= 3.X’G e X’G= 2 + XG.
A altura do triângulo ABC= 3√3.√3/2= 9/2.
X’G= 2 + 3/2 = 7/2. Como, XC’= 3.X’G, a medida das alturas da placa A′B′C′ é 7/2 . 3= 21/2 (ou 10,5 cm).
Autor
Resposta correta.
Usando a propriedade do baricentro que divide a mediana em duas partes, onde a menor, equivale a 1/3 da própria mediana, nomeamos o ponto médio de A’B’ como P, e P’ como o ponto médio de AB. Então, temos que PG= 1/3 . PC’. Podemos dividir o segmento PG= PP’+ P’G e sabemos que o PP’= 2 cm, logo, temos que PG= 2+P’G. Substituindo ainda teremos 1/3 . PC’=2+ P’G.
Sabemos que P’G = 1/3 P’C, P’C é a altura do triângulo ABC e a fórmula para calcular a altura do triângulo equilátero é h= lado x raiz de 3/2, chegamos que h (P’C) é 9/2, pois o tamanho do lado é dado no exercício (3 raiz de 3). Assim, P’G= 1/3 . 9/2= 9/6.
Voltando a fórmula 1/3 . PC’=2+ P’G, podemos substituir P’G e teremos 1/3 . PC’=2+ 9/6, assim, PC’= 10,5.
Autor
Muito bem. Resposta correta.
Gostaria de ressaltar aqui duas possibilidades para a resolução do problema, sendo que a segunda já postamos no fórum restrito para que as outras COMs possam ver :)
1) Utilizar a propriedade do baricentro que, em triângulos equiláteros, divide a altura do triângulo em duas partes: o apótema, segmento que vai de G até a base, que mede h/3, e o segmento GC, que mede 2h/3. Sabendo que o lado de ABC vale 3√3, utilizamos a fórmula da altura de um triângulo equilátero e encontramos h=9/2.
No triângulo maior A’B’C’, utilizamos a mesma propriedade e notamos que seu apótema mede o apótema de ABC+2=3/2+2=7/2. Isso é um terço da altura; temos, portanto: h/3=7/2 –> h=21/2=10,5 cm.
2) Podemos utilizar trigonometria para descobrir o valor do segmento CC’, por meio de um aplicação do seno de 30° ou utilizando lei dos cossenos. Fica aí o desafio! Até a próxima. ;)
Autor
Muito bom.