PROBLEMA
Cinco retângulos congruentes foram desenhados de forma a obtermos um retângulo maior, conforme mostra a figura.
Qual a área do retângulo maior?
Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema.
Mas se não conseguirem, não faz mal. A partir do dia 24, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala Problemas de 2023: Dicas, Orientações e Dúvidas do nosso Fórum.
Lá vocês encontrarão Dicas e Orientações para tentarem resolver o problema e também poderão postar as suas dúvidas para que os nossos Moderadores possam lhes ajudar.
Resolvido o problema, vocês podem postar suas soluções no Blog para que todos tenham acesso a elas!
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Bons estudos, pessoal!
20 comentários
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De acordo com os dados pressupostos no enunciado, podemos concluir:
[img]/uploads/atividades/matheus.mdn2/avl17/qst110/arq-01.png[/img]
[tex]x + y = 5[/tex]
[tex]2x = 3y[/tex] Logo,
[tex]x + y – 5 = 0[/tex]
[tex]2x – 3y = 0[/tex] Resolvendo o sistema pela multiplicação da expressão [tex]1[/tex] por [tex]-2[/tex]
[tex]-2x – 2y + 10 = 0[/tex]
[tex]2x – 3y = 0[/tex]
[tex]-5y = -10[/tex]
[tex]y = 2[/tex]; Portanto se [tex]x + y = 5[/tex]; [tex]x + 2 = 5[/tex] e [tex]x = 3[/tex]
A área do retângulo maior pode ser dada por [tex]3y \cdot 5[/tex] ou [tex]2x \cdot 5[/tex]
[tex]3y \cdot 5 = (3\cdot2)5 = 6 \cdot 5 = 30[/tex]
[tex]2x \cdot 5 = (2\cdot3)5 = 6 \cdot 5 = 30[/tex]
[b]A área do retângulo maior é igual a [tex]30[/tex] u/m[/b]
Autor
Correto, mas são 30 unidades de área.
O lado 5 equivale a y+x=5, sendo y o lado maior do retângulo manor e x será a representação do lado menor do retângulo, e a área do triângulo maior pode ser expressa de duas maneiras: 5xy ou 5×2y; então podemos fazer uma igualdade 5xy=5×2y, que corresponde a 5xy=10y após dividirmos por y a equação ficará 5x=10, que será portanto x=10÷5, que corresponde a x=2, e se x=2, y=5-2, y=3. Sabendo que y=3 e que a área corresponde a 5×2y, chegamos a conclusão de que 5×3×2=30
Autor
Correto.
Só uma pequena correção: não é a área do triângulo maior e sim do retângulo maior.
Chamando o lado menor e o lado maior dos retângulos menores de “a” e “b”, respectivamente, temos que a+b = 5. Percebemos também, ao olhar para dentro do retângulo maior, que três lados menores se sobrepoem a dois lados maiores, isto, é 3a = 2b.
Montando um sistema com as equações, teremos:
a + b = 5
3a – 2b = 0
Ao resolvê-lo, chegamos à conclusão de que a=2 e b=3. Utilizando os valores descobertos, temos que o lado maior do retângulo maior deve corresponder a 3a (ou 2b), resultando em 6. Concluindo este raciocínio, a área do retângulo maior é dada por 5×6=30 u.m.^2.
Tudo certo? ᕙ(`▽´)ᕗ
Autor
Resposta correta.
Chamando o maior lado do retângulo pequeno de [tex]L[/tex] e o menor lado, de [tex]l[/tex] e observando os dois menores lados do maior retângulo montamos a seguinte relação:
Equação I [tex]\bbox[yellow]{L+l=5}[/tex].
Observando os lados maiores do maior retângulo, montamos uma outra relação:
Equação II [tex]\bbox[yellow]{2L=3l}[/tex].
Subtraindo o dobro da equação I da equação II, temos:
[tex]2L-2L-2l=3l-10[/tex]
[tex]\boxed{l=2}[/tex]
Utilizando o valor de[tex]l[/tex] na primeira equação, temos:
[tex]L+l=5[/tex]
[tex]L+2=5[/tex]
[tex]\boxed{L=3}[/tex]
Calculando a área do retângulo maior:
[tex]3l\cdot (L+l)=[/tex]
[tex]3\cdot 2\cdot (3+2)=\bbox[violet, 4px]{30}[/tex]
Logo, concluímos que área do retângulo maior é igual a 30.
Autor
Tudo ok.
Como dito no anunciado, todos os cinco retângulos são congruentes, então podemos adotar variáveis para indicar seus lados, portanto chamaremos o menor lado de x e o maior de y. Ao olhar a imagem pode se perceber que os três lados menores e os 2 lados maiores formam lados paralelos de um retângulo maior, portanto 3x=2y. Dessa mesma maneira podemos concluir, juntamente com o enunciado, que a soma do maior lado com o menor é igual a 5 (y+x=5). Com isso definido, basta resolver um sistema de equações:
3x=2y
y+x=5
x=2y/3
y+(2y/3)=5
3y+2y=15
5y=15
y=15/5=3
y+x=5
3+x=5
x=5-3=2
Como dito no anunciado, todos os cinco retângulos são congruentes, então podemos adotar variáveis para indicar seus lados, portanto chamaremos o menor lado de x e o maior de y. Ao olhar a imagem pode se perceber que os três lados menores e os 2 lados maiores formam lados paralelos de um retângulo maior, portanto 3x=2y. Dessa mesma maneira podemos concluir, juntamente com o enunciado, que a soma do maior lado com o menor é igual a 5 (y+x=5). Com isso definido, basta resolver um sistema de equações:
3x=2y
y+x=5
x=2y/3
y+(2y/3)=5
3y+2y=15
5y=15
y=15/5=3
y+x=5
3+x=5
x=5-3=2
Após descobrir as variáveis temos o valor dos lados que formam o retângulo maior (5 e 6). Portanto, para calcular a área, basta multiplica-los (5*6=30) e descobrimos que a área é igual a 30
Autor
Ótimo.
Vamos chamar de B e A , o maior e menor lado do retângulo respectivamente.
Temos que o lado menor do retângulo maior, é igual a 5. Logo, A + B = 5.
Temos também que o maior lado do retângulo, é dado por 3B = 2A.
Usando a primeira equação, temos que A + 1,5A = 5, logo A= 2.
Como A + B = 5, B = 5 – 2 = 3, então a área do retângulo maior é igual a 5 x (2 + 2 + 2) = 30UA.
Autor
Resposta correta.
retangulos congruentes possuem as mesmas medidas, a partir disso, notamos que x+y=5, e que 3x=2y , depois montamos um sistema de equação:
x+y=5
3x-2y=0
Multiplicando a primeira equação por 2, temos:
2x+2y=10
3x-2y=0
resultando em x=2 (anulamos o y e 5x=10)
Se x é igual a 2, temos que 2+y=5, então, y=3.
A altura, sabemos que é 5 (x+y), e descobrimos que a base é 6 (3.2).
Logo a área é :
5.6 =30
Autor
Resposta correta.
Os 5 retângulos são congruentes, ou seja, são idênticos. Vamos chamar o lado maior de cada retângulo de x e o lado menor de y. De acordo com a imagem dada, podemos perceber que:
[Tex]x+y=5[/tex] e [tex]2x=3y[/tex].
Montamos um sistema de equação com duas equações e duas incógnitas, Isolando o x na primeira equação, temos:
[Tex]x=5-y[/tex]
Agora substituindo o valor de x na segunda equação, temos:
[Tex]2(5-y)=3y[/tex]
Isolando o y obtemos que:
[Tex]y=2[/tex] e substituindo o valor de y por 10 na equação e Isolando o x, obtemos:
[Tex]x=3[/tex]. Voltando para o objetivo da questão, o enunciado pede a área do retângulo maior, então fazemos [tex] bh[/tex], onde a altura vale 5 e perdemos que a base vale 3y ou 2x, que é igual a 6, logo:
[Tex]A=6.5=30[/tex].
Autor
Perfeito. Só corrijam o [tex][/tex].
Autor
Perfeito. Só corrijam o latex. Usaram T maiúsculo.
Chamaremos o lado maior do retângulo pequeno de A e o lado menor de a .
Sabemos que o lado menor do retangulo maior mede A + a = 5, e o lado maior mede 3y e ao mesmo tempo 2x.
Assim, com essas informações podemos montar um sistema para descobrir as medidas de x e y.
x + y = 5
3y = 2x
x = 5 – y
3y = 2 (5 – y)
3y = 10 -2y
3y + 2y = 10
5y = 10
y = 10/5
y = 2
x= 5 – 2
x = 3
Logo, a medida do lado maior do quadrado é 2x = 3y = 2 x 3 = 3 x 2 = 6
Então, a área do retângulo maior será de 5×6 = 30
Autor
Ótimo.