jul 10

Placas Mercosul

PROBLEMA

“Todos os estados brasileiros estão aptos a emplacar veículos com o novo modelo da Placa de Identificação Veicular (PIV) no padrão Mercosul. O diferencial da placa do Mercosul em relação ao modelo atual (cinza) são os itens de segurança, como o QR Code, que possibilita a rastreabilidade, dificultando a sua clonagem e falsificação. A adoção do novo modelo também resolve o problema da falta de combinações de caracteres para as placas do País, que acabariam em poucos anos.”
(Retirado de: https://www.gov.br/pt-br/noticias/transito-e-transportes/2020/02/placa-mercosul-ja-esta-disponivel-em-todo-brasil)

No Brasil, o código das placas dos automóveis no padrão Mercosul é uma sequência alfanumérica com sete caracteres, da forma [tex]LLL\;NLNN[/tex], onde [tex]L[/tex] representa uma letra do alfabeto e [tex]N[/tex] um algarismo. Veja um exemplo:

Com base nas regras vistas acima, encontre o total de possíveis sequências que podem dar origem a placas do padrão Mercosul.

Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema.
Mas se não conseguirem, não faz mal. A partir do dia 13, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala Problemas de 2023: Dicas, Orientações e Dúvidas do nosso Fórum.
Lá vocês encontrarão Dicas e Orientações para tentarem resolver o problema e também poderão postar as suas dúvidas para que os nossos Moderadores possam lhes ajudar.
Resolvido o problema, vocês podem postar suas soluções no Blog para que todos tenham acesso a elas!

Bons estudos, pessoal!

Link permanente para este artigo: http://clubes.obmep.org.br/blog/2023/07/placas-mercosul/

14 comentários

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  1. Podemos solucionar essa questão através de uma permutação simples: Se considerarmos todas as letras do alfabeto, para cada L (com repetição de letras), teríamos 26 possibilidades, e para cada N (também com repetição de números), teríamos 9 possibilidades.
    L = 26
    N = 9
    E, considerando que o formato da placa Mercosul é de 4 letras (L) e 3 números (N), sendo o formato oficial LLL NLNN, temos:
    26 X 26 X 26 X 9 X 26 X 9 X 9
    Com base nas regras previstas, o total de possíveis sequências que podem dar origem a placas do padrão Mercosul é de 333.135.504 (Trezentos e trinta e três milhões, cento e trinta e cinco mil e quinhentos e quatro).

    1. Olá, Clube Puzzlers πrados! Bem-vindos às discussões! A ideia é exatamente esta, mas vocês se esqueceram de que o zero também pode ser utilizado! Tentem recalcular.

      1. É verdade! Seguindo a mesma linha de raciocínio, teríamos que L = 26 e N = 10, e através da permutação simples, podemos transformar os valores da placa LLLNLNN em : 26 X 26 X 26 X 10 X 26 X 10 X 10, tendo assim um total de 456.976.000 (Quatrocentos e cinquenta e seis milhões, novecentos e setenta e seis mil) possíveis sequências.

        1. Parabéns, pessoal, isso mesmo! (São muitas sequências, né?)
          Uma pequena observação, permutação simples é um tipo específico de ordenação: as maneiras de se organizar n objetos distintos (pessoas, malas, livros, etc.) em uma fila. O que vocês utilizaram foi o conceito de Princípio Fundamental da Contagem. Deem uma conferida aqui para verem a diferença: Fatorial e Permutação Simples; Princípio Fundamental da Contagem

          Parabéns, continuem assim!

  2. Sabemos que existem 26 letras do alfabeto (A a Z) e 10 números com apenas um dígito (0 ao 9).
    Assim, temos 26 opções para cada uma das letras que formam a placa e 10 opções para cada um dos números.

    Logo, existem 26 x 26 x 26 x 10 x 26 x 10 x 10 = 26⁴ x 10³ = 456.976.000 sequências possíveis que podem dar origem a placa do Mercosul.

    1. Parabéns, FIBONACCI! Solução correta.

  3. Temos que usar 4 espaços pra letras e 3 para números.

    Há 26 letras e 10 números que podem ser repetidos e usados, logo:

    26x26x26x10x26x10x10= 10^3+26^4= 456.976.000 placas distintas.

    1. Parabéns, Obmépicos! Solução correta.

  4. Como nosso alfabeto é composto por 26 letras, e nosso sistema de numeração de 10 algarismos, e temos, na placa, um total de 4 letras e 3 números. No total, podemos formar [tex]26^4.10^3=456.976.000[/tex] possíveis placas.

    1. Parabéns, SUPER GÊNIOS 3°CPM. Solução correta.

  5. Contando todas as letras do alfabeto, e todos os algarismos de 0 a 9, temos 26 possibilidades para cada letra, além de 10 possibilidades de cada algarismo. Pelo principio fundamental da contagem, como não há problemas em repetir letrar ou algarismos, o número de combinações possíves para [tex]L L L N L N N[/tex] pode ser obtido multiplicando cada possibilidade:

    [tex]L = 26[/tex] e [tex]N = 10[/tex]

    [tex]N_{combinações} = L \cdot L \cdot L \cdot N \cdot L \cdot N \cdot N[/tex]

    [tex]N_{combinações} = 26 \cdot 26 \cdot 26 \cdot 10 \cdot 26 \cdot 10 \cdot 10[/tex]

    [tex]N_{combinações} = 26^4 \cdot 10^3[/tex]

    [tex]N_{combinações} = 456.976 \cdot 1000[/tex]

    [tex]N_{combinações} = 456.976.000[/tex] [i]possibilidades[/i]

    Assim, conclui-se que, existem [tex]456.976.000[/tex] possíveis placas que seguem o padrão mercosul

    1. Solução correta, Potências de Euler.

  6. Nós podemos fazer 26×26×26×10×26×10×10, já que a questão não especifica se os algarismos ou letras devem ser diferentes e existem 26 letras e 10 algarismos ,então o total será:456.976.000

    1. Parabéns! Solução correta.

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