PROBLEMA
Resolva a equação [tex]1+\sqrt{3^{x}}=2^{x}[/tex].
Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema.
Mas se não conseguirem, não faz mal. A partir do dia 6, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala Problemas de 2023: Dicas, Orientações e Dúvidas do nosso Fórum.
Lá vocês encontrarão Dicas e Orientações para tentarem resolver o problema e também poderão postar as suas dúvidas para que os nossos Moderadores possam lhes ajudar.
Resolvido o problema, vocês podem postar suas soluções no Blog para que todos tenham acesso a elas!
Mas se não conseguirem, não faz mal. A partir do dia 6, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala Problemas de 2023: Dicas, Orientações e Dúvidas do nosso Fórum.
Lá vocês encontrarão Dicas e Orientações para tentarem resolver o problema e também poderão postar as suas dúvidas para que os nossos Moderadores possam lhes ajudar.
Resolvido o problema, vocês podem postar suas soluções no Blog para que todos tenham acesso a elas!
Bons estudos, pessoal!
10 comentários
Pular para o formulário de comentário
Troquei a incógnita x por n para facilitar a digitação
Para eliminar a raiz quadrada de 3ⁿ podemos elevar ao quadrado os dois termos(1+√3ⁿ)²=(2ⁿ)² → 1+3ⁿ=4ⁿ logo podemos passar o 3ⁿ para o outro lado da equação ficando 1=4ⁿ–3ⁿ agora podemos colocar o n em evidência fazendo 1=(4–3)ⁿ → 1=1ⁿ podemos ultilizar a regra que fala que se as bases forem iguais os expoentes também são logo n=1 ou para provar podemos elevar os termos por n 1ⁿ=1ⁿ^ⁿ ultilizando a mesma regra n=nⁿ logo n obrigatoriamente tem que ser igual a 1 pois somente quando elevamos qualquer base por 1 obtemos o própria base.
Caros estudantes, alguns erros foram cometidos.
Primeiro, ao elevar ao quadrado a expressão (1+√3ⁿ)²=(2ⁿ)² . Aqui, vocês devem desenvolver o produto notável quadrado da soma de dois termos e não fazer o que está escrito.
Segundo, essa expressão 1=4ⁿ–3ⁿ não corresponde a essa 1=(4–3)ⁿ.
O primeiro erro acabou se estendendo para o segundo.
Revejam os cálculos ok?
De qualquer forma, foi ótimo ver a participação de vocês. Sinal que estão estudando.
Parabéns!
Pela estrutura da equação, já podemos entender que a soma de 1 com a raiz de 3 elevado a X deve ter um resultado de valor par. Pelos princípios de paridade, o resultado da radiciação deve ser ímpar, os valores mais próximos naturais são 3, como raiz de 9 e 9 como raiz de 81. Se o valor fosse 9, a soma com 1 será 10, oque não é um resultado válido para uma potência de base 2.
Por outro lado, o resultado da radiciação sendo 3, teríamos a raiz de 3²=3 e 3 + 1 = 4
Sendo x = 2, 2² também teria o mesmo resultado, logo a equação seria real tendo X = 2
Excelente raciocínio Puzzlers πrados, mas seria essa a única solução?
Podemos transformar (1+3^x÷2)=2 ^x em (1+3^x/3)/2^x=2^x/2^x
(1÷2)^x+ [(3^1/2)/2]^x=1 substituir por (Cos(60°))^x+(Sin(60°))^x=1
agora pensamos em um triângulo com lados A,B e C sendo o Cos(x)=B/A
E Sin(x)=C/A temos que A é a hipotenusa e C e B os catetos se (B/A)²+(C/A)²=(B²+C²)/A² e pelo teorema de Pitágoras B²+C²=A² então ficara A²/A²=1 ou seja se x=2 satisfaz a equação mas se X for outro número podemos usar o Cos(60°)= 1/2 levamos em consideração que x>2 logo (1/2)^x vai tender a 0 pois 2 > 1 então dependendo do valor de x o resultado será cada vez menor já no caso de x2
Para (Cos(60°))^x+(Sin(60°))^x e maior que 1 se x<2
Autor
Parabéns pela participação, Os Somados!
A solução está correta!
Além de encontrar o valor de x, vocês verificaram que ele é único.
Podemos transformar a equação dada em:
(1+3^x/3)/2^x = 2^x/2^x
(1÷2)^x+ [(3^1/2)/2]^x = 1 e também podemos substituir por (Cos(60°))^x+(Sin(60°))^x=1
Agora, temos um triângulo com lados A,B e C sendo o Cos(x)=B/A.
E Sin(x)=C/A temos que A é a hipotenusa e C e B os catetos oposto e adjacente. Se os lados (B/A)²+(C/A)²=(B²+C²)/A² e temos que pelo teorema de Pitágoras :A² = B²+C²; Então, A²/A² = 1 ou seja se x = 2 satisfaz a equação.
Logo, se x for outro número podemos usar o Cos(60°)= 1/2, Temos que x>2 logo (1/2)^x vai tender a 0 pois 2 > 1. Então, dependendo do valor atribuído x o resultado será cada vez menor. Logo, o único valor de x é 2.
Autor
Parabéns pela solução, Obmépicos!
Além de encontrar a solução, vocês verificaram que ela é única.
Vamos tirar a raiz, colocando o índice como denominador e passar o 1 subtraindo:
[tex]3^(x/2)=2^x-1[/tex]
Vamos elevar os dois lados ao quadrado:
[tex]3^x=(2^x-1)²[/tex]
Realizando a propriedade distributiva :
[tex]3^x=2^(2x)-2^(x+1)+1[/tex]
Analisando essa equação, percebemos que o valor de x não pode ser um número maior que 3, já que :
[tex]3³≠2⁶-2⁴+1[/tex]
[tex]3³=27[/tex]
[tex]2⁶-2⁴+1=49[/tex]
Se aumentarmos o valor de x, a tendência é que esses valores aumentem, mas nunca se igualem.
O x não pode ser 1, e:
[tex]3²=2⁴-2³+1[/tex]
[tex]3²=9[/tex]
[tex]2⁴-2³+1=9[/tex]
[tex]x=2[/tex]
Autor
Parabéns pela participação, SUPER GÊNIOS 3°CPM.
A resposta final está correta!
Alguns detalhes na sua solução.
Vocês verificaram que o x não poderia ser maior que 3 e que também não poderia ser 1, mas para afirmar que o 2 é a única solução ainda faltam alguns detalhes.