jul 10

À procura do termo independente

PROBLEMA

Encontre o termo independente de [tex]x[/tex] no desenvolvimento binomial de [tex]\left(x\sqrt[3]{x}+\dfrac{1}{x^3}\right)^{13}[/tex].

Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema.
Mas se não conseguirem, não faz mal. A partir do dia 13, próxima quinta-feira, deem uma passadinha na Sala Problemas de 2023: Dicas, Orientações e Dúvidas do nosso Fórum.
Lá vocês encontrarão Dicas e Orientações para tentarem resolver o problema e também poderão postar as suas dúvidas para que os nossos Moderadores possam lhes ajudar.
Resolvido o problema, vocês podem postar suas soluções no Blog para que todos tenham acesso a elas!

Bons estudos, pessoal!

Link permanente para este artigo: http://clubes.obmep.org.br/blog/2023/07/a-procura-do-termo-independente/

4 comentários

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  1. Após a aplicação da formula geral no desenvolvimento binomial, temos os seguintes coeficientes para cada termo:
    C(13, 0) = 13! / (0! * (13-0)!) = 1
    C(13, 1) = 13! / (1! * (13-1)!) = 13
    C(13, 2) = 13! / (2! * (13-2)!) = 78
    …
    C(13, 12) = 13! / (12! * (13-12)!) = 13
    C(13, 13) = 13! / (13! * (13-13)!) = 1

    Simplificando os coeficientes, teríamos que aquele responsável pela formação do termo independente (aquele em que a variável tem expoente igual a zero) em X seria o coeficiente C(13, 13) = 13! / (13! * (13-13)!) = 1, já que fazendo sua simplificação, onde todos os termos aplicados são iguais a 13, encontramos o resultado do valor de expoente 0:
    1 (x * raiz cúbica de x)^0 * (1/x³)^13 = 1/x^13
    Logo, o valor do termo independente do desenvolvimento binomial do enunciado é 1/x^13

    OBS: Perdoe algum equívoco de compreensão dos sinais, já que digitalmente não conseguimos ter acesso a todos

    1. Olá, pessoal, excelente participação. O termo independente deve ser uma constante, certo? Para qual [tex]n[/tex] vamos ter [tex]\binom{13}{n}\cdot (x\sqrt[3]{x})^{13-n}\cdot \left(\dfrac{1}{x^3}\right)^n[/tex] uma constante?

      Sobre os sinais, sem problemas! Mas vocês podem utilizar as tags [tex][/tex]

  2. Usando o binômio de newton, teremos:

    (a+b)^n =》 Tp+1= (n/p) . a^n-p . b^p

    Sendo:
    a= x ³√x
    b= 1/x^3
    n=13
    p= ?

    Tp+1= (13/p) . (x . ³√x )^13-p . (1/x^3)^p
    Tp+1= (13/p) . (x^52/3 – 4/3 . p) . x^-3p

    52/3 – 13/3 . p =0. logo, p =4.

    Como encontramos o valor P, vamos usá-lo:

    Tp+1= (13/p) . (x^52/3 – 4/3 . p) . (x^-3)^p
    Tp+1= (13/p) . (x^52/3 – 13/3 . p)
    4+1= (13/4) . [ x^52/3 – 13/3 . 4]=》1

    Agora, usamos a fórmula da combinação para encontrar o termo independente de x:

    C n,p= n!/p!(n-p)!
    C 13,4= 13!/4!(13-4)!
    C 13,4= 13!/ 4! . 9!
    C 13,4= 13.12.11.10.9!/ 4×3×2×1×9!
    C 13,4= 715.

    Logo, o termo independente de x é 715.

    1. Solução correta, Obmépicos. Parabéns!

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