Paradoxo de Braess

PROBLEMA

A figura abaixo mostra dois caminhos para se sair do ponto Início e chegar ao ponto Fim. Cada um destes caminhos é composto por um trecho com ônibus e um trecho com metrô. O tempo para se percorrer cada trecho com ônibus é igual a [tex]N/100[/tex] minutos (sofre congestionamento), em que [tex]N[/tex] representa o número de pessoas que irão usar esse sistema, e o tempo para se percorrer cada trecho com metrô é sempre [tex]45[/tex] minutos. Sabemos que [tex]4 \ 000[/tex] pessoas precisam percorrer esse caminho e que o tempo necessário para se mudar de meio de transporte pode ser desconsiderado.

(a) Qual será o tempo médio gasto pelas [tex]4 \ 000[/tex] pessoas se [tex]a[/tex] pessoas escolherem o caminho que passa por [tex]A[/tex] e [tex]b[/tex] pessoas escolherem o caminho que passa por [tex]B[/tex]? Para quais valores de [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] o tempo médio é mínimo?
(b) Suponhamos que tenha sido feita uma ligação entre os pontos [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] de forma que as pessoas possam escolher no início se querem fazer o primeiro trecho de ônibus ou metrô e possam escolher novamente no ponto [tex]A=B[/tex] como querem seguir, metrô ou ônibus, qual será o tempo médio gasto para se percorrer o caminho todo se cada uma das [tex]4 \ 000[/tex] pessoas escolher fazer os trajetos Início-[tex]A[/tex] e [tex]A[/tex]-Fim com o menor tempo em cada um?

DICA

Qual será a soma de todos os tempos de trajeto das [tex]a[/tex] pessoas? E das [tex]b[/tex] pessoas? Dica extra: Lembrem-se da fórmula do mínimo de uma função do segundo grau.

Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema.
Se a dica não for suficiente, não faz mal: a partir da próxima quinta, 03.06.2021, deem uma passadinha na Sala Problemas 2020: Dicas e Dúvidas do nosso Fórum e postem lá as suas dúvidas para que os nossos Moderadores possam lhes ajudar.
Resolvido o problema, postem suas soluções no Blog para que todos tenham acesso a elas.

Bons estudos, pessoal!

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