Desigualdade MA-MG: Provando com Geometria

PROBLEMA

Com o roteiro abaixo, vamos construir uma prova geométrica para a desigualdade entre as médias aritmética e geométrica. Vamos lá?
(a) Sobre uma reta suporte, construa dois círculos tangentes entre si. O de centro [tex]A[/tex] tem diâmetro [tex]a[/tex] e, o de centro [tex]B[/tex], diâmetro [tex]b[/tex], com [tex]a\geq b[/tex]. Qual é a medida do segmento [tex]\overline{AB}[/tex]?

(b) Agora, considere um ponto [tex]C[/tex] no diâmetro ressaltado, de tal forma que [tex]\overline{BC}[/tex] é perpendicular a [tex]\overline{AC}[/tex]. Qual é a medida de [tex]\overline{AC}[/tex]?

(c) Quanto mede o segmento [tex]\overline{BC}[/tex]?
(d) Conclua a desigualdade MA-MG.
(e) Quando vale a igualdade?

DICA

[tex]\rhd[/tex] Procure construir um triângulo retângulo a partir dos centros dos círculos e depois aplicar o Teorema de Pitágoras.

Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema.
Se a dica não for suficiente, não faz mal: a partir da próxima quinta, 08.04.21, deem uma passadinha na Sala Problemas 2020: Dicas e Dúvidas do nosso Fórum e postem lá as suas dúvidas para que os nossos Moderadores possam lhes ajudar.
Resolvido o problema, postem suas soluções no Blog para que todos tenham acesso a elas.

Bons estudos, pessoal!

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