Identidade de Catalan

PROBLEMA

a) Prove a identidade de Catalan

[tex]x \cdot (x-3 \cdot (y+z))^2+(y+z) \cdot (3x-(y+z))^2=(x+y+z)^3.[/tex]

b) Podemos escrever [tex]14[/tex] como a soma de três quadrados de naturais; de fato, [tex]14=3^2+2^2+1^2[/tex]. É fácil verificar que essa é a única maneira de escrever [tex]14[/tex] como soma de três quadrados. Mostre como escrever [tex]14^3[/tex] de três maneiras distintas como soma de três quadrados, ou seja, determine três soluções da equação [tex]14^3=a^2+b^2+c^2[/tex], com [tex]a \gt b \gt c[/tex] inteiros positivos.

DICA

Para o item a, faça [tex]x+y+z=k[/tex] e escreva o lado esquerdo da identidade em termos apenas de [tex]x[/tex] e [tex]k[/tex]. A expressão obtida deve ser igual ao lado direito, que é [tex]k^3[/tex]. Depois, procure utilizar o resultado do item a para desenvolver o item b.

Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema.
Se a dica não for suficiente, não faz mal: a partir da próxima quinta, 19. 10.02.2021, deem uma passadinha na Sala Problemas 2020: Dicas e Dúvidas do nosso Fórum e postem lá as suas dúvidas para que os nossos Moderadores possam lhes ajudar.
Resolvido o problema, postem suas soluções no Blog para que todos tenham acesso a elas.

Bons estudos, pessoal!

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