Prova sem palavras 2

PROBLEMA

As figuras a seguir são uma prova sem palavras de que [tex]\sqrt{2} [/tex] é irracional:

Vamos transformar essas figuras em uma prova com palavras!

a) Na Figura 1, sendo [tex]m[/tex] o lado do quadrado maior e [tex]n[/tex] o lado dos quadrados menores, mostre que [tex]\dfrac{m}{n}=\sqrt{2}[/tex].

b) Na Figura 2, há um quadrado rosa escuro e dois quadradinhos brancos. Encontre, em termos de [tex]m[/tex] e [tex]n[/tex], as medidas dos lados desses quadrados.

c) Vamos provar que [tex]\sqrt{2}[/tex] é irracional “por absurdo”, ou seja, vamos supor que [tex]\sqrt{2}[/tex] é racional e chegar a uma contradição, concluindo que a suposição está errada e, portanto, [tex]\sqrt{2}[/tex] é irracional.

Se [tex]\sqrt{2}[/tex] é racional, então existem inteiros positivos [tex]m[/tex] e [tex]n[/tex], primos entre si, tais que [tex]\dfrac{m}{n}=\sqrt{2}[/tex]. Assim, a menor soma positiva possível para numerador e denominador de uma fração igual a [tex]\sqrt{2}[/tex] é [tex]m+n[/tex] (por quê?). Use os itens anteriores para finalizar a demonstração!

DICA

[tex]\rhd[/tex] Observem que a área do quadrado branco pode ser calculada de duas maneiras, dadas as Figuras 1 e 2. Porém, a área é a mesma (claro!) e podemos igualar os dois resultados. A ideia é conseguir escrever outra fração igual a [tex]\sqrt{2}[/tex].

Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema.
Se a dica não for suficiente, não faz mal: a partir da próxima quinta, DATA, deem uma passadinha na Sala Problemas 2020: Dicas e Dúvidas do nosso Fórum e postem lá as suas dúvidas para que os nossos Moderadores possam lhes ajudar.
Resolvido o problema, postem suas soluções no Blog para que todos tenham acesso a elas.

Bons estudos, pessoal!

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