Uma prova diferente

PROBLEMA

Prove, por argumentos combinatórios, que:

[tex]{\left( \begin{array}{c} n \\ 0 \end{array} \right)}^{2}+{\left( \begin{array}{c} n \\ 1 \end{array} \right)}^{2}+{\left( \begin{array}{c} n \\ 2 \end{array} \right)}^{2}+\dots +{\left( \begin{array}{c} n \\ n-1 \end{array} \right)}^{2}+ {\left( \begin{array}{c} n \\ n \end{array} \right)}^{2}={\left( \begin{array}{c} 2n \\ n \end{array} \right)}[/tex],

sendo [tex]n\ge 0[/tex] um número inteiro.

DICA

Pense em um problema de combinatória que possa ser resolvido de dois modos diferentes. Algo do tipo: “Quantas comissões com [tex]n[/tex] pessoas podem ser formadas a partir de um grupo com [tex]n[/tex] mulheres e [tex]n[/tex] homens?”

Reúnam seus Clubes e tentem resolver o problema.
Se a dica não for suficiente, não faz mal: a partir da próxima quinta, 03/09/2020, deem uma passadinha na Sala Problemas 2020: Dicas e Dúvidas do nosso Fórum e postem lá as suas dúvidas para que os nossos Moderadores possam lhes ajudar.
Resolvido o problema, postem suas soluções no Blog para que todos tenham acesso a elas.

Bons estudos, pessoal!

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